数列6 等差×等比の和

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数列6 等差\(\times\)等比の和

 

 

問題

\(S=1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot3^2+4\cdot 3^3+\cdots +n\cdot 3^{n-1}\)  を求めよ(\(S\)を求める。)

 

解答

\(S=1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot3^2+4\cdot 3^3+\cdots +n\cdot 3^{n-1}\)

 

両辺を三倍する。(一つずつ項をずらすことで引き算後の係数の値を\(1\)に統一。)

 

\(3S=1\cdot 3+2\cdot 3^2+3\cdot3^3+4\cdot 3^4+\cdots +n\cdot 3^n\)

 

辺々引くと

 

\(-2S=1+1\cdot 3+1\cdot3^2+1\cdot 3^3+\cdots +1\cdot 3^{n-1}-n\cdot 3^n\)

 

\(=3^0+3^1+3^2+3^3+3^4+\cdots +\cdot 3^{n-1}-n\cdot 3^n\)

 

\(=\displaystyle\frac{3^n-1}{3-1}-n\cdot 3^n\)   (等比数列の和の公式

 

\(=\displaystyle\frac{3^n}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}-n\cdot 3^n\)

 

よって求める値\(S\)は     \(S=\displaystyle\frac{2n\cdot 3^n-3^n+1}{4}\)

 

別解

\(T=1\cdot x^0+2\cdot x^1+3\cdot x^2+4\cdot x^3+\cdots +n\cdot x^{n-1}\ 考えると

 

\(T=(C+x+x^2+x^3+\cdots +x^n)’\)  

 

\(=\biggl(C+x\displaystyle\frac{x^n-1}{x-1}\biggr)’=\displaystyle\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}\)  (分数の微分)

 

ここで\(x=3\)としたものが求める\(S\)であるので

 

\(\displaystyle\frac{n\cdot 3^{n+1}-(n+1)\cdot 3^n+1}{(3-1)^2}\)\(=\displaystyle\frac{2n\cdot 3^n-3^n+1}{4}\)

 

 

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