中線定理

中線定理三角関数
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中線定理とは

 

 

図において、$AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$が成り立つ。これを中線定理という。

※\(BM=CM\)であり、\(AM\)のことを中線と呼ぶので、中線定理という。

 

 

証明1

△ABMと△ACMにおいて余弦定理を適用する。($\angle AMC=\theta$とおく。)

 

$AB^2=AM^2+BM^2-2AM\cdot BM\cdot \cos (\pi-\theta)$

 

$AC^2=AM^2+CM^2-2AM\cdot CM\cdot \cos \theta$

 

$BM=CM$を考慮して、辺々足すと 

$AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$

 

※\(\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\)です。

 

証明2

座標設定する方法です。Mを原点にとり、$B(-c,0)、C(c,0)$としても一般性を失わない。

\(A(a,b)\)とすると

 

$左辺=AB^2+AC^2=(a+c)^2+b^2+(a-c)^2+b^2=2(a^2+b^2+c^2)$

 

$右辺=2(AM^2+BM^2)=2((a^2+b^2)+c^2)$

 

となり、一致する。証明完了です。

 

 

 

 

 

 

 

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