第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度

[mathjax]

定義

以下の計算で使うので先に書いておきます。

$r$:地球と物体の距離

$G$:万有引力定数

$M$:地球の質量

$m$:物体の質量

第一宇宙速度とは、地球の円軌道に乗るために必要な速度。第一宇宙速度より大きい速度であれば、地球の周りを衛星のように地球に落ちることなく回る。

遠心力と重力（万有引力）のつりあいの式を立てる。

$m\displaystyle\frac{v^2}{r}=G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}$

これを解くと、$v=\sqrt{\displaystyle\frac{GM}{r}}$

具体的に地表での値を代入すると、$v\simeq 7.9 (km/s)$となる。

第二宇宙速度とは、地球の重力から脱出するために必要な速度。

重力による位置エネルギーと脱出するための運動エネルギーが等しいとして計算する。

$\displaystyle\frac{1}{2}mv^2-G\displaystyle\frac{Mm}{r}=0$

これを解くと、$v=\sqrt{\displaystyle\frac{2GM}{r}}$

具体的に値を代入すると、$v\simeq 11.2 (km/s)$となる。

第三宇宙速度とは、太陽系を脱出するために必要な速度。

太陽の公転軌道から脱出するには上と同様の考えで$v_{E}$が必要。（$R$は地球太陽間の公転距離、$M_{s}$は太陽質量）

$v_{s}=\sqrt{\displaystyle\frac{2GM_{s}}{R}}$

地球の公転速度を差し引く必要があるのでそれを求めると（つり合いから求める）

$v_{E}=\sqrt{\displaystyle\frac{GM_{s}}{R}}$

よって相対速度は、$V=v_{s}-v_{E}$

$\displaystyle\frac{1}{2}mv^2-G\displaystyle\frac{Mm}{r}=\displaystyle\frac{1}{2}mV^2$

$v=\sqrt{\displaystyle\frac{2GM}{r}+\biggl(\sqrt{\displaystyle\frac{2GM_{s}}{R}}-\sqrt{\displaystyle\frac{GM_{s}}{R}}\biggr)^2}$である。

具体的に値を代入すると、$v\simeq 16.7 (km/s)$となる。