加法定理の証明 行列、オイラーの公式

シェアする

加法定理

加法定理の証明は教科書にはおそらく単位円を用いたような 証明が載っていると思います。(今もそうなのかは分かりませんが。)今回は、行列及びオイラーの公式で証明してみます。

 

行列

\(\theta\) 回転は一般に行列を用いて

 

\( A = \left( \begin{array}{cc}  \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \) と表されることを使用する。

 

\((\alpha+\beta)\)回転は\(\left( \begin{array}{cc}  \cos (\alpha+\beta) & -\sin (\alpha+\beta) \\ \sin (\alpha+\beta) & \cos (\alpha+\beta) \end{array} \right) \)

 

\(\alpha\)回転後、\(\beta\)回転するものは

\(\left( \begin{array}{cc}  \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc}  \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array} \right) \)

とかける。これらが等しいので

 

\(\left( \begin{array}{cc}  \cos (\alpha+\beta) & -\sin (\alpha+\beta) \\ \sin (\alpha+\beta) & \cos (\alpha+\beta) \end{array} \right)\)\(=\left( \begin{array}{cc}  \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc}  \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array} \right) \)

 

\(=\left( \begin{array}{cc}  \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta & \sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \\ -\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta & \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \end{array} \right) \)

 

 比較すると

\(\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta\)

\(\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta\)

 が導出できる。

 

オイラーの公式

\(e^{ix+iy}=e^{ix}e^{iy}\) をオイラーの公式を用いて変形していく。

 

左辺は

\(e^{ix+iy}=e^{i(x+y)}=\cos (x+y)+i\sin (x+y)\)

 

右辺は

\(e^{ix}e^{iy}=(\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)\)

\(=\cos x\cos y-\sin x\sin y+i(\sin x\cos y+\cos x\sin y)\)

 

実部、虚部比較。

\(\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\)

\(\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\)

が成立する。

 

 

最後に

マイナスの方と \(\tan (x\pm y)\) に関しては上の二式から導ける。

 

シェアする