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加法定理
加法定理の証明は教科書には単位円を用いた証明が載っていると思います。今回は、行列及びオイラーの公式で証明してみます。
行列
\(\theta\) 回転は一般に行列を用いて
\((\alpha+\beta)\)回転は\(\left( \begin{array}{cc} \cos (\alpha+\beta) & -\sin (\alpha+\beta) \\ \sin (\alpha+\beta) & \cos (\alpha+\beta) \end{array} \right) \)
\(\alpha\)回転後、\(\beta\)回転するものは
\(\left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array} \right) \)
とかける。これらが等しいので
\(\left( \begin{array}{cc} \cos (\alpha+\beta) & -\sin (\alpha+\beta) \\ \sin (\alpha+\beta) & \cos (\alpha+\beta) \end{array} \right)\)\(=\left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array} \right) \)
\(=\left( \begin{array}{cc} \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta & \sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \\ -\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta & \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \end{array} \right) \)
比較すると
\(\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta\)
\(\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta\)
という加法定理が導出できる。
オイラーの公式
\(e^{ix+iy}=e^{ix}e^{iy}\) をオイラーの公式を用いて変形していく。
左辺は
\(e^{ix+iy}=e^{i(x+y)}=\cos (x+y)+i\sin (x+y)\)
右辺は
\(e^{ix}e^{iy}=(\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)\)
\(=\cos x\cos y-\sin x\sin y+i(\sin x\cos y+\cos x\sin y)\)
実部、虚部比較。
\(\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\)
\(\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\)
が成立する。
最後に
加法定理のマイナスの二式と \(\tan (x\pm y)\) に関しては上の二式から導ける。
