ベクトル解析 勾配、発散、回転
以下、太字の文字はベクトルを表す。これは、このサイトのルールというわけではなく、世界で使われているものです。高校までは、ベクトルは矢印で書いていたと思いますが、大学以降では太字表記が一般になります。（※矢印で書いても間違いではないがほとんどみかけない）
では、本題に入ります。ベクトル解析で重要な「勾配」、「発散」、「回転」に関する基本事項をまとめました。意味は概ね文字通りです。ベクトルかスカラーかの違いが重要になってきます。
※\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\) は偏微分です。大まかにいうと分子にあるものを分母の文字に関して微分するという意味です。
勾配
スカラー関数\(\phi\)に対し、偏微係数\(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x}\)、\(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y}\)、\(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}\) をそれぞれ成分とする
ベクトルを\(\phi\) の勾配といって、\(\mathrm{grad} \phi\) と表記する。
\( \boldsymbol{i}\)、\( \boldsymbol{j}\)、\( \boldsymbol{k}\)を単位ベクトルとして考えると、\(\mathrm{grad} \phi\)は以下のようになる。
\(\mathrm{grad} \phi=\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}\boldsymbol{k}=\biggl(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x},\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y},\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}\biggr)\)
これは、以下のように変形できる。
\(=\biggl(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k} \biggr)\phi=\nabla \phi\)
ここで\(\nabla=\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k} \) と定義。（\(\nabla\) はナブラという）
結論：\(\phi\) の勾配はベクトル量で\(\mathrm{grad} \phi\) または\(\nabla \phi\)と表す。
発散
ベクトル量 \(\boldsymbol{A}=(A_{x},A_{y},A_{z})\)とするとき、
\(\mathrm{div} \boldsymbol{A}=\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial z}\) を \(\boldsymbol{A}\) の発散といい、以下のように変形可能
\(=\biggl(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k}\biggr)\cdot (A_{x}\boldsymbol{i}+A_{y}\boldsymbol{j}+A_{z}\boldsymbol{k})=\nabla\cdot \boldsymbol{A}\)
つまり、発散はナブラとベクトルの内積。
結論として、\(\boldsymbol{A}\) の発散はスカラー量で\(\mathrm{div} \boldsymbol{A}\) または\(\nabla \cdot \boldsymbol{A}\)と表す。
回転
上の二つに比べると少し複雑に見えるかもしれません。回転が外積に関係するためです。
ベクトル \(\boldsymbol{A}=(A_{x},A_{y},A_{z})\)とするとき
\(\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial z}\biggr)\)、\(\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\biggr)\)、\(\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\biggr)\)
をそれぞれ成分とするベクトルを\(\boldsymbol{A}\)の回転といって\(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}\) と表記する。
\( \boldsymbol{i}\)、\( \boldsymbol{j}\)、\( \boldsymbol{k}\)を単位ベクトルとして考えると、\(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}\)は以下のようになる。
\(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}=\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial z}\biggr)\boldsymbol{i}+\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\biggr)\boldsymbol{j}+\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\biggr)\boldsymbol{k}\)
これは以下のように変形できる。
\(=\biggl(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k}\biggr)\times(A_{x}\boldsymbol{i}+A_{y}\boldsymbol{j}+A_{z}\boldsymbol{k})=\nabla \times \boldsymbol{A}\)
つまり、回転はナブラとベクトルの外積。
結論として、\(\boldsymbol{A}\) の回転はベクトル量で\(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}\) または\(\nabla \times \boldsymbol{A}\)と表す。