ベクトル解析 勾配、発散、回転
以下、太字の文字はベクトルを表す。これは、このサイトのルールというわけではなく、世界で使われているものです。高校までは、ベクトルは矢印で書いていたと思いますが、大学以降では太字表記が一般になります。（※矢印で書いても間違いではない）
では、本題へ。ベクトル解析で重要な「勾配」、「発散」、「回転」に関する基本事項をまとめました。意味は概ね文字通りです。ベクトルかスカラーかの違いが重要になってきます。
（\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\) は偏微分です。大まかにいうと、分子にあるものを分母の文字に関して微分するという意味です）
勾配
\(\phi\) はスカラー関数。
偏微係数\(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x}\)、\(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y}\)、\(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}\) をそれぞれ成分とするベクトルを\(\phi\) の勾配といって、\(\mathrm{grad} \phi\) と表記する。
\( \boldsymbol{i}\)、\( \boldsymbol{j}\)、\( \boldsymbol{k}\)を単位ベクトルとして考えると、\(\mathrm{grad} \phi\)は以下のようになる。
\(\mathrm{grad} \phi=\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}\boldsymbol{k}\)
これは、以下のように変形できる。
\(=\biggl(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k} \biggr)\phi=\nabla \phi\)
ここで\(\nabla=\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k} \) と置いた。（\(\phi\) はナブラという）
結論として、\(\phi\) の勾配は\(\mathrm{grad} \phi\) または\(\nabla \phi\)と表す。
\(\mathrm{grad} \phi\)はベクトル。
発散
\( \boldsymbol{A}\)はベクトル。
\(\boldsymbol{A}=(A_{x},A_{y},A_{z})\)とするとき、
\(\mathrm{div} \boldsymbol{A}=\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial z}\) を \(\boldsymbol{A}\) の発散という。これは以下のように変形できる。
\(=\biggl(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k}\biggr)\cdot (A_{x}\boldsymbol{i}+A_{y}\boldsymbol{j}+A_{z}\boldsymbol{k})=\nabla\cdot \boldsymbol{A}\)
つまり、発散はナブラとベクトルの内積ともいえる。
結論として、\(\boldsymbol{A}\) の発散は\(\mathrm{div} \boldsymbol{A}\) または\(\nabla \cdot \boldsymbol{A}\)と表す。
\(\mathrm{div} \boldsymbol{A}\)はスカラー（値）。
回転
上の二つに比べると少し複雑に見えるかもしれません。回転が外積に関係するためです。
\(\boldsymbol{A}\)はベクトル。
\(\boldsymbol{A}=(A_{x},A_{y},A_{z})\)とするとき、
\(\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial z}\biggr)\)、\(\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\biggr)\)、\(\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\biggr)\)
をそれぞれ成分とするベクトルを\(\boldsymbol{A}\)の回転といって\(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}\) と表記する。
\( \boldsymbol{i}\)、\( \boldsymbol{j}\)、\( \boldsymbol{k}\)を単位ベクトルとして考えると、\(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}\)は以下のようになる。
\(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}=\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial z}\biggr)\boldsymbol{i}+\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\biggr)\boldsymbol{j}+\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\biggr)\boldsymbol{k}\)
これは以下のように変形できる。
\(=\biggl(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k}\biggr)\times(A_{x}\boldsymbol{i}+A_{y}\boldsymbol{j}+A_{z}\boldsymbol{k})=\nabla \times \boldsymbol{A}\)
つまり、回転はナブラとベクトルの外積とも言える。
結論として、\(\boldsymbol{A}\) の回転は\(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}\) または\(\nabla \times \boldsymbol{A}\)と表す。
\(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}\)はベクトル。