勾配、発散、回転

以下、太字の文字はベクトルを表す。これは、このサイトのルールというわけではなく、世界で使われているものです。高校までは、ベクトルは矢印で書いていたと思いますが、大学以降では太字表記が一般になります。

勾配

スカラー関数$\phi$に対し、$\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x}$、$\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y}$、$\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}$ をそれぞれ成分とするベクトルを$\phi$ の勾配といって、$\mathrm{grad} \phi$ と表記する。$\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}$を単位ベクトルとして考えると

$\mathrm{grad} \phi=\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}\boldsymbol{k}=\biggl(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x},\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y},\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}\biggr)$$=\biggl(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k} \biggr)\phi=\nabla \phi$

$\nabla=\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k} $ と定義。（$\nabla$ はナブラ）

結論：$\phi$ の勾配はベクトル量で$\mathrm{grad} \phi$ または$\nabla \phi$と表す。

発散

ベクトル量 $\boldsymbol{A}=(A_{x},A_{y},A_{z})$とするとき、

$\mathrm{div} \boldsymbol{A}=\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial z}$ を $\boldsymbol{A}$ の発散といい、以下のように変形可能。

$\mathrm{div} \boldsymbol{A}=\biggl(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k}\biggr)\cdot (A_{x}\boldsymbol{i}+A_{y}\boldsymbol{j}+A_{z}\boldsymbol{k})=\nabla\cdot \boldsymbol{A}$

結論：$\boldsymbol{A}$ の発散はスカラー量で$\mathrm{div} \boldsymbol{A}$ または$\nabla \cdot \boldsymbol{A}$と表す。

回転

ベクトル $\boldsymbol{A}=(A_{x},A_{y},A_{z})$とするとき

$\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial z}\biggr)$、$\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\biggr)$、$\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\biggr)$

をそれぞれ成分とするベクトルを$\boldsymbol{A}$の回転といって$\mathrm{rot} \boldsymbol{A}$ と表記する。

$ \boldsymbol{i}$、$ \boldsymbol{j}$、$ \boldsymbol{k}$を単位ベクトルとして考えると、$\mathrm{rot} \boldsymbol{A}$は以下のようになる。

$\mathrm{rot} \boldsymbol{A}=\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial z}\biggr)\boldsymbol{i}+\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\biggr)\boldsymbol{j}+\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\biggr)\boldsymbol{k}$

$=\biggl(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k}\biggr)\times(A_{x}\boldsymbol{i}+A_{y}\boldsymbol{j}+A_{z}\boldsymbol{k})=\nabla \times \boldsymbol{A}$

結論：$\boldsymbol{A}$ の回転はベクトル量で$\mathrm{rot} \boldsymbol{A}$ または$\nabla \times \boldsymbol{A}$と表す。

まとめ

勾配　$\nabla \phi=\mathrm{grad}\phi$ ベクトル量

発散　$\nabla\cdot \boldsymbol{A}=\mathrm{div}\boldsymbol{A}$ スカラー量

回転　$\nabla\times\boldsymbol{A}=\mathrm{rot}\boldsymbol{A}$　ベクトル量