ベクトル解析1 勾配、発散、回転 

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ベクトル解析 勾配、発散、回転 

 

 

以下、太字の文字はベクトルを表す。これは、このサイトのルールというわけではなく、世界で使われているものです。高校までは、ベクトルは矢印で書いていたと思いますが、大学以降では太字表記が一般になります。(※矢印で書いても間違いではない)

 

では、本題へ。ベクトル解析で重要な「勾配」、「発散」、「回転」に関する基本事項をまとめました。意味は概ね文字通りです。ベクトルかスカラーかの違いが重要になってきます。

 

\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\) は偏微分です。大まかにいうと、分子にあるものを分母の文字に関して微分するという意味です)

 

勾配

\(\phi\) はスカラー関数。

偏微係数\(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x}\)、\(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y}\)、\(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}\) をそれぞれ成分とするベクトルを\(\phi\) の勾配といって、\(\mathrm{grad} \phi\) と表記する

 

\( \boldsymbol{i}\)、\( \boldsymbol{j}\)、\( \boldsymbol{k}\)を単位ベクトルとして考えると、\(\mathrm{grad} \phi\)は以下のようになる。

 

\(\mathrm{grad} \phi=\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}\boldsymbol{k}\)

これは、以下のように変形できる。

\(=\biggl(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k} \biggr)\phi=\nabla \phi\)

 

ここで\(\nabla=\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k} \) と置いた。(\(\phi\) はナブラという)

 

結論として、\(\phi\) の勾配は\(\mathrm{grad} \phi\) または\(\nabla \phi\)表す。

 \(\mathrm{grad} \phi\)はベクトル。

 

発散

 \( \boldsymbol{A}\)はベクトル。 

\(\boldsymbol{A}=(A_{x},A_{y},A_{z})\)とするとき、

\(\mathrm{div} \boldsymbol{A}=\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial z}\)\(\boldsymbol{A}\) の発散という。これは以下のように変形できる。

 

\(=\biggl(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k}\biggr)\cdot (A_{x}\boldsymbol{i}+A_{y}\boldsymbol{j}+A_{z}\boldsymbol{k})=\nabla\cdot \boldsymbol{A}\)

 

つまり、発散はナブラとベクトルの内積ともいえる。

結論として、\(\boldsymbol{A}\) の発散は\(\mathrm{div} \boldsymbol{A}\) または\(\nabla \cdot \boldsymbol{A}\)表す。

\(\mathrm{div} \boldsymbol{A}\)はスカラー(値)。

 

回転

上の二つに比べると少し複雑に見えるかもしれません。回転が外積に関係するためです。

\(\boldsymbol{A}\)はベクトル。

 \(\boldsymbol{A}=(A_{x},A_{y},A_{z})\)とするとき、

\(\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial z}\biggr)\)、\(\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\biggr)\)、\(\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\biggr)\)

 

をそれぞれ成分とするベクトルを\(\boldsymbol{A}\)の回転といって\(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}\) と表記する。

\( \boldsymbol{i}\)、\( \boldsymbol{j}\)、\( \boldsymbol{k}\)を単位ベクトルとして考えると、\(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}\)は以下のようになる。

 

\(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}=\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial z}\biggr)\boldsymbol{i}+\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\biggr)\boldsymbol{j}+\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\biggr)\boldsymbol{k}\)

 

これは以下のように変形できる。

\(=\biggl(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k}\biggr)\times(A_{x}\boldsymbol{i}+A_{y}\boldsymbol{j}+A_{z}\boldsymbol{k})=\nabla \times \boldsymbol{A}\)

 

つまり、回転はナブラとベクトルの外積とも言える。

結論として、\(\boldsymbol{A}\) の回転は\(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}\) または\(\nabla \times \boldsymbol{A}\)表す。

\(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}\)はベクトル。

 

 

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