ベクトル解析8 ガウスの発散定理

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ガウスの発散定理

定理

以下がガウスの発散定理。

\(\displaystyle\int_{V}\mathrm{div} \boldsymbol{A} dV=\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n} dS\)

ある領域から出ていく量(左辺)=表面から出ていく量(右辺) という関係式を示しています。 

この定理は非常に重要です。 

問題

1番 

 \(\boldsymbol{A}=ax\boldsymbol{i}+by\boldsymbol{j}+cz\boldsymbol{k}\) とする。

領域は単位球とする。この時、閉曲面上の面積分は?

2番

\(\displaystyle\int_{V}\mathrm{rot} \boldsymbol{A} dV=\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{n}\times\boldsymbol{A} dS\)

を示す。

解答

1番

\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}dS\)

\(=\displaystyle\int_{V} \mathrm{div} \boldsymbol{A} dV\)   (発散定理)

\(=\displaystyle\int_{V} \biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial z} \biggr)dV \)     (発散部分を定義より書き換え)

\(=\displaystyle\int_{V} \biggl(\displaystyle\frac{\partial (ax)}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial (by)}{\partial y}+\displaystyle\frac{\partial (cz)}{\partial z}\biggr) dV \)       (成分を具体的に)

\(=\displaystyle\int_{V} (a+b+c)dV \)

\(=(a+b+c)\displaystyle\int_{V} dV\)   (定数なので外に出せる。)

\(=\displaystyle\frac{4}{3}\pi (a+b+c)\)  (体積は単位球なので)

2番

発散定理で、\(\boldsymbol{A}\)を\(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{d}\)とおく。(\(\boldsymbol{A}\)は定ベクトル)

\(\displaystyle\int_{V} \mathrm{div}(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{d} )dV=\displaystyle\int(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{d})\cdot\boldsymbol{n} dS\)    (①とする)

左辺

\(\mathrm{div}(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{d})=\boldsymbol{d}\cdot\mathrm{rot}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{rot}\boldsymbol{d}=\boldsymbol{d}\cdot\mathrm{rot}\boldsymbol{A}\)   

(一つ目の等号は公式。二つ目の等号は、\(\mathrm{rot}\boldsymbol{d}=\boldsymbol{0}による。\))

右辺

 \((\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{d})\cdot\boldsymbol{n}=\boldsymbol{d}\cdot(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{A})\)

 という公式を利用。そして、これらの変形結果を①に代入。

\(\boldsymbol{d}\cdot\displaystyle\int_{V}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}dV=\boldsymbol{d}\cdot\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{A} dS\)

となり、\(\boldsymbol{d}\)が任意より問題の式が示される。

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