計算
花火（火花）が上空でどのような軌道を描くかを物理で考えてみる。
高さ$h$で爆発したとすると、火花の$x,y$それぞれの方向の運動方程式は
$m\dot{v_{x}}=-kmv_{x}$
$m\dot{v_{y}}=-mg-kmv_{y}$
今回の初期条件は、$(x_{0}, y_{0})=(0, h)$、$(v_{x}, v_{y})=(v_{0}\cos\theta, v_{0}\sin\theta)$と考えて微分方程式を解くと
$v_{x}=v_{0}\cos\theta e^{-kt}$
$v_{y}=-\displaystyle\frac{g}{k}+\left(v_{0}\sin\theta+\displaystyle\frac{g}{k}\right)e^{-kt}$
初期条件を考慮して積分すると
$x=\displaystyle\frac{v_{0}}{k}\cos\theta(1-e^{-kt})$
$y=h-\displaystyle\frac{g}{k}t+\displaystyle\frac{1}{k}\left(v_{0}\sin\theta+\displaystyle\frac{g}{k}\right)(1-e^{-kt})$
これを変形すると
$x^2+\left(y-h+\displaystyle\frac{g}{\beta}t-\displaystyle\frac{g}{\beta^2}(1-e^{-\beta t}) \right)^2=\left(\displaystyle\frac{v_{0}}{\beta}(1-e^{-\beta t})\right)^2$
となり、半径が$\displaystyle\frac{v_{0}}{\beta}(1-e^{-\beta t})$、中心が$(x,y)=(0,h-\displaystyle\frac{g}{\beta}t+\displaystyle\frac{g}{\beta^2}(1-e^{-\beta t}) )$の円軌道を描くことがわかる。（実際の花火では球です）
ここで、$t\to\infty$とすると、$r= \displaystyle\frac{v_{0}}{\beta}, y=h-\displaystyle\frac{gt}{\beta}+\displaystyle\frac{vg}{\beta^2}$となり、等速落下していくことがわかります。
また、$x,y$の式から時間を消去する。$x$の式を$t$の式に変換すると
$t=-\displaystyle\frac{1}{k}\log\left(1-\displaystyle\frac{kx}{v_{0}\cos\theta}\right)$
と求まる。また、代入において、以下の対数の展開式を利用する。
$\log(1+x)=x-\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{x^3}{3}+\cdots$
$y=x\tan\theta-\displaystyle\frac{g}{v_{0}^2\cos^2\theta}\left(\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{kx^3}{3v_{0}\cos\theta}+\cdots\right)$
となることから、ひとつひとつの火花に注目してみると、近似的に放物線軌道を描いています。
