慣性テンソル2 円盤 

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慣性テンソル

慣性テンソルは以下。

\(I=\left( \begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i} m_{i} (y_{i}^2+z_{i}^2) & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}y_{i} & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}z_{i} \\ -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}y_{i} & \displaystyle\sum_{i} m_{i} (z_{i}^2+x_{i}^2) & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} y_{i}z_{i} \\ -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}z_{i} & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} y_{i}z_{i} & \displaystyle\sum_{i} m_{i} (x_{i}^2+y_{i}^2) \end{array} \right)\) 

となっているので、これを計算する。

問題

半径\(R\)の円盤の重心周りの慣性テンソルを考える。

対角成分

対称性より、\(I_{xx}=I_{yy}\)

テンソルの式より \(I_{xx}+I_{yy}=I_{zz}\)

\(I_{zz}=\displaystyle\sum_{i} m_{i}r_{i}^2=\displaystyle\int r^2 dm=\displaystyle\int_{0}^{R} 2\pi\sigma r^3 dr\)

※円周\(r\)の微小質量は、\(dm=2\pi r \sigma dr\) であることを使った。

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\pi\sigma R^4\)\(=\displaystyle\frac{M}{2} R^2\)

また、\(I_{xx}=I_{yy}=\displaystyle\frac{I_{zz}}{2}=\displaystyle\frac{1}{4}MR^2\)

非対角成分

\(I_{xy}\)のような成分。

\(I_{xy}=-\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}y_{i}=0\)  

他も0になる。

結果

まとめると、以下のような行列になる。

\(I=\left( \begin{array}{ccc} \displaystyle\frac{1}{4}MR^2 & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{4}MR^2 & 0 \\ 0 & 0 & \displaystyle\frac{1}{2}MR^2 \end{array} \right)\)

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