慣性テンソル3 球

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慣性テンソル

慣性テンソルは以下。

 

\(I=\left( \begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i} m_{i} (y_{i}^2+z_{i}^2) & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}y_{i} & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}z_{i} \\ -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}y_{i} & \displaystyle\sum_{i} m_{i} (z_{i}^2+x_{i}^2) & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} y_{i}z_{i} \\ -\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}z_{i} & -\displaystyle\sum_{i} m_{i} y_{i}z_{i} & \displaystyle\sum_{i} m_{i} (x_{i}^2+y_{i}^2) \end{array} \right)\) 

となっているので、これを計算する。

 

問題

半径\(R\)の球の重心周りの慣性テンソルを考える。

 

対角成分

対称性より、\(I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}\)

 

\(I_{xx}+I_{yy}+I_{zz}=2\displaystyle\sum_{i} m_{i}(x_{i}^2+y_{i}^2+z_{i}^2)\)

 

\(=2\displaystyle\sum_{i} m_{i} r_{i}^2=2\displaystyle\int r^2 dm=\displaystyle\int_{0}^{R} 8\pi r^4 \rho dr\)

 

※半径\(r\)の微小な球殻\(dr\)の質量は、\(dm=4\pi r^2 \rho dr\) であることを使った。

 

\(=\displaystyle\frac{8}{5}\pi\rho R^5=\displaystyle\frac{4}{3}\pi\rho R^3\cdot\displaystyle\frac{6}{5}R^2\)

 

\(=\displaystyle\frac{6}{5}MR^2\)

 

つまり、\(I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}=\displaystyle\frac{2}{5}MR^2\)

 

非対角成分

\(I_{xy}\)のような成分。

 

\(I_{xy}=-\displaystyle\sum_{i} m_{i} x_{i}y_{i}=0\) ※球は対称

 

解答

\(I=\left( \begin{array}{ccc} \displaystyle\frac{2}{5}MR^2 & 0 & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{2}{5}MR^2 & 0 \\ 0 & 0 & \displaystyle\frac{2}{5}MR^2 \end{array} \right)\) 

 

 

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