電磁気学7 電磁場 波動方程式

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電磁気学7 電磁場 波動方程式

マクスウェル方程式

① \(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{ρ(\boldsymbol{r},t)}{ε_{0}}\)  

② \(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=-\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}\) 

③ \(\mathrm{div} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=0\) 

④ \(\mathrm{rot} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=  \mu_{0} \boldsymbol{i}(\boldsymbol{r},t) + \epsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}\)

これらから波動方程式が得られる。 

電場

②式 \(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=-\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}\)   の両辺の\(\mathrm{rot}\)をとる。

\(\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{E})=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\boldsymbol{B})\)

左辺にベクトル解析の公式  \(\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{E})=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{E})-\nabla^2 \boldsymbol{E}\)を適用し、右辺に④の式を適用して変形。

\(\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{E})-\nabla^2 \boldsymbol{E}=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\mu_{0}\biggl(\boldsymbol{i}+\epsilon_{0}\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}\biggr)\)

\(\nabla\cdot\boldsymbol{E}\)を①の式を使って変形し、右辺を整理する。

\(\displaystyle\frac{1}{\epsilon_{0}}\nabla\rho-\nabla^2 \boldsymbol{E}=-\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{i}-\mu_{0}\epsilon_{0}\displaystyle\frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2}\)

ここで、真空中では、\(\rho=0\)及び\(\boldsymbol{i}=0\)より

\(-\nabla^2 \boldsymbol{E}=-\mu_{0}\epsilon_{0}\displaystyle\frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2}\)

\(c^2=\displaystyle\frac{1}{\epsilon_{0}\mu_{0}}\)を考えて、整理すると

\(\biggl(\nabla^2-\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial t^2}\biggr)\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r} , t)=0\)

磁場

上同様に式変形をする。

④式 \(\mathrm{rot}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=\mu_{0}\boldsymbol{i}+\epsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}\)   の両辺の\(\mathrm{rot}\)をとる。

\(\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{B})=\mu_{0}\mathrm{rot}\boldsymbol{i}+\epsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\boldsymbol{E})\)

左辺にベクトル解析の公式  \(\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{B})=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{B})-\nabla^2 \boldsymbol{B}\)を適用し、右辺に②の式を適用して変形。

\(\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{B})-\nabla^2 \boldsymbol{B}=\mu_{0}\mathrm{rot}\boldsymbol{i}+\epsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\biggl(-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\biggr)\)

\(\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0\)  (③の式)を使い、また右辺を整理する。

\(-\nabla^2 \boldsymbol{B}=\mu_{0}\mathrm{rot}\boldsymbol{i}-\epsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial^2 \boldsymbol{B}}{\partial t^2}\)

ここで、真空中では、\(\boldsymbol{i}=0\)より

\(-\nabla^2 \boldsymbol{B}=-\epsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial^2 \boldsymbol{B}}{\partial t^2}\)

\(c^2=\displaystyle\frac{1}{\epsilon_{0}\mu_{0}}\)を考えて、整理すると

\(\biggl(\nabla^2-\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial t^2}\biggr)\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r} , t)=0\)

まとめ

波動方程式は以下のようになる。

形が電場と磁場で同じになっている。

\(\biggl(\nabla^2-\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial t^2}\biggr)\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r} , t)=0\)

\(\biggl(\nabla^2-\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial t^2}\biggr)\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r} , t)=0\)

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