円筒コンデンサ

小半径$a$、大半径$b$の円筒コンデンサがある。

静電容量

$a<r<b$で長さ$1$の円柱にガウスの発散定理を使うと

$2\pi r E=\displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$

$E=\displaystyle\frac{Q}{2\pi r \varepsilon_{0}}$

$V=\displaystyle\int_{a}^{b} E(r)dr=\displaystyle\frac{Q}{2\pi \varepsilon_{0}}\log\displaystyle\frac{b}{a}$

$C=\displaystyle\frac{2\pi\varepsilon_{0}}{\log\displaystyle\frac{b}{a}}$

自己インダクタンス

円筒の内外の一辺を取るような長方形でアンペール法則を積分。

$\mathrm{rot}B=\mu_{0}I$

$B=\displaystyle\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}$

$\Phi=\displaystyle\int \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}=\displaystyle\int_{a}^{b} \displaystyle\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}dr=\displaystyle\frac{\mu_{0}I}{2\pi}\log\displaystyle\frac{b}{a}$

よって自己インダクタンスは

$L=\displaystyle\frac{\Phi}{I}=\displaystyle\frac{\mu_{0}}{2\pi}\log\displaystyle\frac{b}{a}$