[mathjax]
鏡像法（電気映像法）の問題です。
目次
問題
\(x=0\)に無限導体平面板があり、\((a,0,0)\)に電荷\(q\)がある。このとき
① ポテンシャルは？
② 表面電荷密度は？
③ 誘導される総電荷量は？
解答
\((-a,0,0)\)に仮想電荷\(-q\)があると考える。こうすると\(x=0\)で\(V=0\)を満たしている。
1番
\(\phi=\displaystyle\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\biggl(\displaystyle\frac{q}{\sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2}}+\displaystyle\frac{-q}{\sqrt{(x+a)^2+y^2+z^2}}\biggr)\)
\(=\displaystyle\frac{q}{4\pi \epsilon_{0}}\biggl(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{(x-a)^2+\rho^2}}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{(x+a)^2+\rho^2}}\biggr)\)
\(y^2+z^2=\rho^2\)とした。
2番
\(\omega=-\epsilon_{0}\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x}\biggr|_{x=0}\)
\(=-\epsilon_{0}\times\displaystyle\frac{q}{4\pi \epsilon_{0}}\biggl[-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{2(x-a)}{((x-a)^2+\rho^2)^{\frac{3}{2}}}+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{2(x+a)}{((x+a)^2+\rho^2)^{\frac{3}{2}}}\biggr]\biggr|_{x=0}\)
\(=-\displaystyle\frac{qa}{2\pi (\rho^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}\)
3番
2番の結果を導体表面全体にわたって積分する。
\(Q=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{\infty} -\displaystyle\frac{qa}{2\pi (\rho^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}\cdot \rho d\rho d\theta\)
\(=-\displaystyle\frac{qa}{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{\rho}{(\rho^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}d\rho\)
\(=-qa\biggl[-(\rho^2+a^2)^{-\frac{1}{2}}\biggr]_{0}^{\infty}\)
\(=-q\)
