エルミート多項式

物理数学
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エルミート多項式

定義

\(\left(\displaystyle\frac{d^2}{dx^2}-2x\displaystyle\frac{d}{dx}+2n\right)H_{n}(x)=0\)

の解\(H_{n}(x)\)をエルミート多項式という。

 

一般形

\(H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^2}\displaystyle\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\)

 

具体形

\(H_{0}(x)=1\)

\(H_{1}(x)=2x\)

\(H_{2}(x)=4x^2-2\)

 

母関数

\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{n}(x)\displaystyle\frac{y^n}{n!}=e^{-y^2+2xy}\)

 

性質

\(H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)\)

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} H_{n}(x)H_{m}(x)e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}2^n n! \delta_{mn}\)

 

物理での応用

調和振動子の波動関数部分にでてくる。

 

 

 

 

 

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