[mathjax]
不確定性原理
位置\(x\)と運動量\(p\)に対して
\(\Delta x \Delta p\geq \displaystyle\frac{\hbar}{2}\)
つまり、量子力学では位置と運動量は確定しない！
証明
定義
\(I(\alpha)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} dx \psi^{*}(x)(\alpha \delta A-i\delta B)(\alpha \delta A+i\delta B)\psi (x)\)
\(\langle A\rangle=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} dx \psi^{*}(x)A\psi (x)\)
\(\langle B\rangle=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} dx \psi^{*}(x)B\psi (x)\)
\(\delta A=A-\langle A\rangle\)
\(\delta B=B-\langle B\rangle\)
\([A,B]=iC\)
計算
\(I(\alpha)=|\langle(\alpha \delta A+i\delta B)\psi\rangle|^2\geq 0\)
また
\(I(\alpha)=\langle \delta A^2\rangle\alpha^2+\langle i[\delta A,\delta B]\rangle \alpha+\langle\delta B\rangle^2\)
\(=(\Delta A)^2-\langle C\rangle\alpha+(\Delta B)^2\)
\(=(\Delta A)^2\biggl(\alpha-\displaystyle\frac{\langle C\rangle}{2\langle\Delta A\rangle^2}\biggr)+(\Delta B)^2-\displaystyle\frac{\langle C\rangle^2}{4(\Delta A)^2}\geq 0\)
ここから
\((\Delta A)^2(\Delta B)^2\geq \displaystyle\frac{1}{4}\langle C\rangle^2\)
というロバートソンの不等式が得られる。
不確定性原理
量子力学では\([\hat{x},\hat{p}]=i\hbar\)より
\(A=\hat{x}\)、\(B=\hat{p}\)、\(C=\hbar \hat{\boldsymbol{1}}\)と置き換えると
\((\Delta \hat{x})^2(\Delta \hat{p})^2\geq \displaystyle\frac{\hbar^2}{4}\)
つまり \(\Delta \hat{x} \Delta \hat{p}\geq \displaystyle\frac{\hbar}{2}\) というハイゼンベルグの不確定性原理が導かれる。
※このとき、以下のように誤差を定義していることになります。
\((\Delta x)=\sqrt{\langle x^2 \rangle-\langle x \rangle^2}\)
\((\Delta p)=\sqrt{\langle p^2 \rangle-\langle p \rangle^2}\)
