不確定性原理

位置$x$と運動量$p$に対して

$$\Delta x \Delta p\geq \displaystyle\frac{\hbar}{2}$$

量子力学では位置と運動量は確定しない。

証明

定義

$I(\alpha)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} dx \psi^{*}(x)(\alpha \delta A-i\delta B)(\alpha \delta A+i\delta B)\psi (x)$

$\langle A\rangle=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} dx \psi^{*}(x)A\psi (x)$

$\langle B\rangle=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} dx \psi^{*}(x)B\psi (x)$

$\delta A=A-\langle A\rangle$

$\delta B=B-\langle B\rangle$

$[A,B]=iC$

計算

$I(\alpha)=|\langle(\alpha \delta A+i\delta B)\psi\rangle|^2\geq 0$

$I(\alpha)=\langle \delta A^2\rangle\alpha^2+\langle i[\delta A,\delta B]\rangle \alpha+\langle\delta B\rangle^2=(\Delta A)^2\alpha^2-\langle C\rangle\alpha+(\Delta B)^2$

$$(\Delta A)^2(\Delta B)^2\geq \displaystyle\frac{1}{4}\langle C\rangle^2$$

というロバートソンの不等式が得られる。

不確定性原理

量子力学では$[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$より

$A=\hat{x}$、$B=\hat{p}$、$C=\hbar \hat{\boldsymbol{1}}$と置き換えると

$(\Delta \hat{x})^2(\Delta \hat{p})^2\geq \displaystyle\frac{\hbar^2}{4}$

$\Delta \hat{x} \Delta \hat{p}\geq \displaystyle\frac{\hbar}{2}$ というハイゼンベルグの不確定性原理が導かれる。