不確定性原理

量子力学
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不確定性原理

位置\(x\)と運動量\(p\)に対して

\(\Delta x \Delta p\geq \displaystyle\frac{\hbar}{2}\)

つまり、量子力学では位置と運動量は確定しない!

 

証明

定義

\(I(\alpha)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} dx \psi^{*}(x)(\alpha \delta A-i\delta B)(\alpha \delta A+i\delta B)\psi (x)\)

\(\langle A\rangle=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} dx \psi^{*}(x)A\psi (x)\)

\(\langle B\rangle=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} dx \psi^{*}(x)B\psi (x)\)

\(\delta A=A-\langle A\rangle\)

\(\delta B=B-\langle B\rangle\)

\([A,B]=iC\)

 

計算

\(I(\alpha)=|\langle(\alpha \delta A+i\delta B)\psi\rangle|^2\geq 0\)

 

また

\(I(\alpha)=\langle \delta A^2\rangle\alpha^2+\langle i[\delta A,\delta B]\rangle \alpha+\langle\delta B\rangle^2\)

 

\(=(\Delta A)^2-\langle C\rangle\alpha+(\Delta B)^2\)

 

\(=(\Delta A)^2\biggl(\alpha-\displaystyle\frac{\langle C\rangle}{2\langle\Delta A\rangle^2}\biggr)+(\Delta B)^2-\displaystyle\frac{\langle C\rangle^2}{4(\Delta A)^2}\geq 0\)

 

ここから

\((\Delta A)^2(\Delta B)^2\geq \displaystyle\frac{1}{4}\langle C\rangle^2\)

というロバートソンの不等式が得られる。

 

不確定性原理

量子力学では\([\hat{x},\hat{p}]=i\hbar\)より

\(A=\hat{x}\)、\(B=\hat{p}\)、\(C=\hbar \hat{\boldsymbol{1}}\)と置き換えると

\((\Delta \hat{x})^2(\Delta \hat{p})^2\geq \displaystyle\frac{\hbar^2}{4}\)

 

つまり \(\Delta \hat{x} \Delta \hat{p}\geq \displaystyle\frac{\hbar}{2}\) というハイゼンベルグの不確定性原理が導かれる。

 

※このとき、以下のように誤差を定義していることになります。

\((\Delta x)=\sqrt{\langle x^2 \rangle-\langle x \rangle^2}\)

\((\Delta p)=\sqrt{\langle p^2 \rangle-\langle p \rangle^2}\)

 

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