等級

 

目次

見かけの等級、絶対等級

見かけの等級……地球から見た時の明るさで決めている。
絶対等級……10pc(32.6光年)離れた位置での天体の明るさで決める。
※年周視差が1秒角となる長さが1pc。

 

 

歴史

BC150年頃:ギリシャのヒッパルコスが肉眼で1~6等星を振り分けた。
18世紀末:ウィリアム・ハーシェルが等級は明るさの2乗に反比例して暗くなることを発見した。
18世紀末:ジョン・ハーシェルは1等星が6等星の明るさの100倍であることを発見した。
19世紀:ポグソンが等級の定義を決定した。

 

  太陽 満月 シリウス ベガ
等級 -26.7 -12.7 -1.46 0.03(標準)

 

ポグソンの公式

二つの星がある。

星1……明るさ(フラックス) \(F_{1}\) 、\(x\) 等級。
★2……明るさ (フラックス)\(F_{2}\) 、\(y\) 等級。

この時、以下の等式が成立する。基準を決めると全ての星の等級が決まる。

$$x-y=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)$$

 導出

定義より、1等級異なると明るさは\(100^{\frac{1}{5}}\)倍、\(m\)等級異なると明るさは\(100^{\frac{m}{5}}\)倍になるので

\(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}=100^{\frac{y-x}{5}}\)

\(\log_{10}\biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)=\displaystyle\frac{2}{5}(y-x)\)

\(x-y=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)\) となる。

 絶対等級、見かけの等級の関係式

本来の距離と10パーセクの距離でポグソンの公式を利用。 

星1(見かけ、本来)……フラックス \(F_{1}\) 、\(m\) 等級。距離\(d\)パーセク

星2(絶対、仮想)……フラックス \(F_{2}\) 、\(M\) 等級。距離10パーセク

\(m-M=-2.5\log_{10} \left(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\right)\) 

フラックスは距離の二乗に反比例するので、\(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}=\biggl(\displaystyle\frac{10}{d}\biggr)^2\)を代入すると

\(m-M=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{10}{d}\biggr)^2=5(\log_{10} d-1)\)

$$M=m+5-5\log_{10} d$$ 

 

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