等級 | 日々の日記

見かけの等級、絶対等級

見かけの等級……地球から見た時の明るさで決めている。
絶対等級……10pc（32.6光年）離れた位置での天体の明るさで決める。
※年周視差が1秒角となる長さが1pc。

BC150年頃：ギリシャのヒッパルコスが肉眼で1～6等星を振り分けた。
18世紀末：ウィリアム・ハーシェルが等級は明るさの2乗に反比例して暗くなることを発見した。
18世紀末：ジョン・ハーシェルは1等星が6等星の明るさの100倍であることを発見した。
19世紀：ポグソンが等級の定義を決定した。

	太陽	満月	シリウス	ベガ
等級	-26.7	-12.7	-1.46	0.03(標準)

二つの星がある。

星1……明るさ（フラックス） $F_{1}$ 、$x$ 等級。
★2……明るさ（フラックス）$F_{2}$ 、$y$ 等級。

この時、以下の等式が成立する。基準を決めると全ての星の等級が決まる。

$$x-y=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)$$

定義より、1等級異なると明るさは$100^{\frac{1}{5}}$倍、$m$等級異なると明るさは$100^{\frac{m}{5}}$倍になるので

$\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}=100^{\frac{y-x}{5}}$

$\log_{10}\biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)=\displaystyle\frac{2}{5}(y-x)$

$x-y=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)$　となる。

本来の距離と10パーセクの距離でポグソンの公式を利用。

星1（見かけ、本来）……フラックス $F_{1}$ 、$m$ 等級。距離$d$パーセク

星2（絶対、仮想）……フラックス $F_{2}$ 、$M$ 等級。距離10パーセク

$m-M=-2.5\log_{10} \left(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\right)$　

フラックスは距離の二乗に反比例するので、$\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}=\biggl(\displaystyle\frac{10}{d}\biggr)^2$を代入すると

$m-M=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{10}{d}\biggr)^2=5(\log_{10} d-1)$

$$M=m+5-5\log_{10} d$$