等級

宇宙
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見かけの等級、絶対等級

見かけの等級……地球から見た時の明るさで決める。

絶対等級……10パーセク(32.6光年)離れた位置での天体の明るさで決める。

 

パーセク

\(1\)パーセクがおよそ\(3.26\)光年。

等級の歴史

紀元前150年ごろ

ヒッパルコス(ギリシャ)

肉眼で1~6等星まで振り分ける。   

18世紀末

ウィリアム・ハーシェル

等級の大きさは明るさの二乗に反比例して暗くなることを発見。

 

ジョン・ハーシェル

1等星は6等星の100倍の明るさであることを発見。

19世紀

ポグソン

当時、いろいろな尺度が乱立していた所で、等級の定義を決める。ハーシェルの発見をもとに1等星と6等星の明るさの差が100倍となるような明確な定義を与える。現在でもこれが使われている。

公式

ポグソンの公式

二つの星がある。

星1……明るさ(フラックス) \(F_{1}\) 、\(x\) 等級。

星2……明るさ (フラックス)\(F_{2}\) 、\(y\) 等級。

この時、以下の等式が成立する。基準を決めると全ての星の等級が決まる。

$$x-y=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)$$

 導出

定義より、1等級異なると明るさは\(100^{\frac{1}{5}}\)倍、\(m\)等級異なると明るさは\(100^{\frac{m}{5}}\)倍になるので

\(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}=100^{\frac{y-x}{5}}\)

\(\log_{10}\biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)=\displaystyle\frac{2}{5}(y-x)\)

\(x-y=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)\) となる。

 絶対等級、見かけの等級の関係式

本来の距離と10パーセクの距離でポグソンの公式を利用。 

星1(見かけ、本来)……フラックス \(F_{1}\) 、\(m\) 等級。距離\(d\)パーセク

星2(絶対、仮想)……フラックス \(F_{2}\) 、\(M\) 等級。距離10パーセク

\(m-M=-2.5\log_{10} \left(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\right)\) 

フラックスは距離の二乗に反比例するので、\(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}=\biggl(\displaystyle\frac{10}{d}\biggr)^2\)を代入すると

\(m-M=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{10}{d}\biggr)^2=5(\log_{10} d-1)\)

$$M=m+5-5\log_{10} d$$ 

おまけ

具体的な星の等級。

太陽…… \(-26.7\) 等星

満月…… \(-12.7 \)等星

シリウス…… \(-1.46\) 等星

 ベガ…… \(+0.03\) 等星 (変光するので標準的な明るさ)

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