目次
見かけの等級、絶対等級
見かけの等級……地球から見た時の明るさで決める。
絶対等級……10パーセク(32.6光年)離れた位置での天体の明るさで決める。
パーセク
\(1\)パーセクがおよそ\(3.26\)光年。
等級の歴史
紀元前150年ごろ
ヒッパルコス(ギリシャ)
肉眼で1~6等星まで振り分ける。
18世紀末
ウィリアム・ハーシェル
等級の大きさは明るさの二乗に反比例して暗くなることを発見。
ジョン・ハーシェル
1等星は6等星の100倍の明るさであることを発見。
19世紀
ポグソン
当時、いろいろな尺度が乱立していた所で、等級の定義を決める。ハーシェルの発見をもとに1等星と6等星の明るさの差が100倍となるような明確な定義を与える。現在でもこれが使われている。
公式
ポグソンの公式
二つの星がある。
星1……明るさ(フラックス) \(F_{1}\) 、\(x\) 等級。
星2……明るさ (フラックス)\(F_{2}\) 、\(y\) 等級。
この時、以下の等式が成立する。基準を決めると全ての星の等級が決まる。
$$x-y=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)$$
導出
定義より、1等級異なると明るさは\(100^{\frac{1}{5}}\)倍、\(m\)等級異なると明るさは\(100^{\frac{m}{5}}\)倍になるので
\(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}=100^{\frac{y-x}{5}}\)
\(\log_{10}\biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)=\displaystyle\frac{2}{5}(y-x)\)
\(x-y=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)\) となる。
絶対等級、見かけの等級の関係式
本来の距離と10パーセクの距離でポグソンの公式を利用。
星1(見かけ、本来)……フラックス \(F_{1}\) 、\(m\) 等級。距離\(d\)パーセク
星2(絶対、仮想)……フラックス \(F_{2}\) 、\(M\) 等級。距離10パーセク
\(m-M=-2.5\log_{10} \left(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\right)\)
フラックスは距離の二乗に反比例するので、\(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}=\biggl(\displaystyle\frac{10}{d}\biggr)^2\)を代入すると
\(m-M=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{10}{d}\biggr)^2=5(\log_{10} d-1)\)
$$M=m+5-5\log_{10} d$$
おまけ
具体的な星の等級。
太陽…… \(-26.7\) 等星
満月…… \(-12.7 \)等星
シリウス…… \(-1.46\) 等星
ベガ…… \(+0.03\) 等星 (変光するので標準的な明るさ)