等級 | 理系ノート

見かけの等級、絶対等級

見かけの等級……地球から見た時の明るさで決める。

絶対等級……10パーセク（32.6光年）離れた位置での天体の明るさで決める。

$1$パーセクがおよそ$3.26$光年。

ヒッパルコス（ギリシャ）

肉眼で1～6等星まで振り分ける。　　　

ウィリアム・ハーシェル

等級の大きさは明るさの二乗に反比例して暗くなることを発見。

ジョン・ハーシェル

1等星は6等星の100倍の明るさであることを発見。

ポグソン

当時、いろいろな尺度が乱立していた所で、等級の定義を決める。ハーシェルの発見をもとに1等星と6等星の明るさの差が100倍となるような明確な定義を与える。現在でもこれが使われている。

二つの星がある。

星1……明るさ（フラックス） $F_{1}$ 、$x$ 等級。

星2……明るさ（フラックス）$F_{2}$ 、$y$ 等級。

この時、以下の等式が成立する。基準を決めると全ての星の等級が決まる。

$$x-y=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)$$

定義より、1等級異なると明るさは$100^{\frac{1}{5}}$倍、$m$等級異なると明るさは$100^{\frac{m}{5}}$倍になるので

$\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}=100^{\frac{y-x}{5}}$

$\log_{10}\biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)=\displaystyle\frac{2}{5}(y-x)$

$x-y=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\biggr)$　となる。

本来の距離と10パーセクの距離でポグソンの公式を利用。

星1（見かけ、本来）……フラックス $F_{1}$ 、$m$ 等級。距離$d$パーセク

星2（絶対、仮想）……フラックス $F_{2}$ 、$M$ 等級。距離10パーセク

$m-M=-2.5\log_{10} \left(\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}\right)$　

フラックスは距離の二乗に反比例するので、$\displaystyle\frac{F_{1}}{F_{2}}=\biggl(\displaystyle\frac{10}{d}\biggr)^2$を代入すると

$m-M=-2.5\log_{10} \biggl(\displaystyle\frac{10}{d}\biggr)^2=5(\log_{10} d-1)$

$$M=m+5-5\log_{10} d$$

具体的な星の等級。

太陽…… $-26.7$ 等星

満月…… $-12.7 $等星

シリウス…… $-1.46$ 等星

ベガ…… $+0.03$ 等星　（変光するので標準的な明るさ）