点と直線の距離公式の証明

[mathjax]

点A$(s,t)$と直線$l$:$ax+by+c=0$の距離は

$d=\displaystyle\frac{|sa+tb+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ で求められる。

上の図のように設定する。$\overrightarrow{BA}=k\vec{n}$とおく。

$(s-p,t-q)=k(a,b)$であることから$(p,q)=(s-ka,t-kb)$である。

点Bは直線上の点なので直線の式に代入すると

$a(s-ka)+b(t-kb)+c=0$となり、ここから$k$を求めると

$k=\displaystyle\frac{sa+tb+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$となる。

よって　$|AB|=|k|\sqrt{a^2+b^2}=$$\displaystyle\frac{|sa+tb+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

三角形の面積公式

原点と$A(x_{1},y_{1})$と$B(x_{2},y_{2})$で囲まれた三角形の面積は

$S=\displaystyle\frac{1}{2}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|$と書ける。これを点と直線の距離公式を使って求める。

直線ABの方程式は

$y=\displaystyle\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})+y_{1}$

変形すると、$(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0$

点と直線の距離公式より、原点と直線ABの距離は

$d=\displaystyle\frac{|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\sqrt{(y_{1}-y_{2})^2+(x_{1}-x_{2})^2}}$

また、ABの距離は、$|AB|=\sqrt{(y_{1}-y_{2})^2+(x_{1}-x_{2})^2}$なので

$S=\displaystyle\frac{1}{2}\times |AB|\times d=$$\displaystyle\frac{1}{2}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|$

点A$(s,t,u)$と平面$ax+by+cz+d=0$の距離は以下の式で求められる。

$d=\displaystyle\frac{|sa+tb+uc+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

※二次元の場合の「点と直線の距離公式」をそのまま三次元に拡張すれば証明は完了です。