クラメルの公式

連立方程式の解の公式です。行列式の計算が入ってきて計算量が多いので実用的とは言い難い公式です。

（実用的には掃き出し法、逆行列をかけるなどして求める）

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+ \cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} $

$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+ \cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} $

$\cdots $

$a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+ \cdots +a_{nn}x_{n}=b_{n} $

というn次連立方程式を解く。

行列形式で書くと

$\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right)$

$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$

$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$

$\boldsymbol{x}_{j}=\displaystyle\frac{\mathrm{det}\boldsymbol{A}_{j}}{\mathrm{det}\boldsymbol{A}}$

ただし、$\boldsymbol{A}_{j}=(\boldsymbol{a}_{1},\cdots ,\boldsymbol{a}_{j-1}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}_{j+1},\cdots \boldsymbol{a}_{n})$

例題

$x+2y+3z=1$

$2x+3y+3z=4$

$x-y+z=3$

解答

行列形式で書くと

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right)$

よって

$x=\displaystyle\frac{\mathrm{det}\boldsymbol{A}_{1}}{\mathrm{det}\boldsymbol{A}}=\displaystyle\frac{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 3 \\ 3 & -1 & 1 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right|}=\displaystyle\frac{23}{7}$

$y=\displaystyle\frac{\mathrm{det}\boldsymbol{A}_{2}}{\mathrm{det}\boldsymbol{A}}=\displaystyle\frac{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right|}=-\displaystyle\frac{2}{7}$

$z=\displaystyle\frac{\mathrm{det}\boldsymbol{A}_{3}}{\mathrm{det}\boldsymbol{A}}=\displaystyle\frac{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 3 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right|}=-\displaystyle\frac{4}{7}$

となる、実際にそのまま解いても同じ答えになる。なお、

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right)$

を変形して（逆行列を書けることにより）以下のように答えを出すこともできる。

$\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)=\displaystyle\frac{1}{7}\left( \begin{array}{ccc} -6 & 5 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 5 & -3 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right)=\displaystyle\frac{1}{7}\left( \begin{array}{c} 23 \\ -2 \\ -4 \end{array} \right)$