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マチンの公式とは、円周率の計算のための公式です。
マチンの公式
\(4\arctan \displaystyle\frac{1}{5}-\arctan\displaystyle\frac{1}{239}=\displaystyle\frac{\pi}{4}\)
証明
\(\arctan x\)は\(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\leq \arctan x\leq\displaystyle\frac{\pi}{2}\)の範囲。
\(\arctan\displaystyle\frac{1}{5}=\alpha\) 及び \(\arctan\displaystyle\frac{1}{239}=\beta\)
とおくと、\(\tan\alpha=\displaystyle\frac{1}{5}\)、\(\tan\beta=\displaystyle\frac{1}{239}\)
\(0\leq \alpha \leq\displaystyle\frac{\pi}{4}, 0\leq \beta \leq\displaystyle\frac{\pi}{2}\) ①
※\(\alpha\)の範囲を絞っているのは、後半で解を1つにするため。\(\displaystyle\frac{\pi}{4}\)に限るわけではない。
以下、\(4\alpha-\beta=\displaystyle\frac{\pi}{4}\) つまり \(\tan(4\alpha-\beta)=1\)を示したい。
\(\tan 2\alpha=\displaystyle\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2 \alpha}=\displaystyle\frac{2\cdot\displaystyle\frac{1}{5}}{1-\displaystyle\frac{1}{25}}=\displaystyle\frac{5}{12}\)
\(\tan 4\alpha=\displaystyle\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^2 2\alpha}=\displaystyle\frac{2\cdot\displaystyle\frac{5}{12}}{1-\displaystyle\frac{25}{144}}=\displaystyle\frac{120}{119}\)
ここで
\(\tan(4\alpha-\beta)\)\(=\displaystyle\frac{\tan 4\alpha-\tan\beta}{1+\tan 4\alpha\tan\beta}\)
\(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{120}{119}-\displaystyle\frac{1}{239}}{1+\displaystyle\frac{120}{119}\cdot\displaystyle\frac{1}{239}}=\displaystyle\frac{120\cdot 239-119}{119\cdot 239-120}\)
\(=\displaystyle\frac{119\cdot 239+239-119}{119\cdot 239-120}\)\(=1\)
①より \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\leq 4\alpha-\beta \leq\pi\)
この範囲では、\(4\alpha-\beta=\displaystyle\frac{\pi}{4}\)
\(\alpha\)と\(\beta\)をもとに戻すとマチンの公式が得られる。
\(4\arctan \displaystyle\frac{1}{5}-\arctan\displaystyle\frac{1}{239}=\displaystyle\frac{\pi}{4}\)
