カージオイド 体積

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カージオイド 体積

カージオイドの媒介変数表示を書いておきます。

\(x=r\cos\theta=a\cos\theta(1+\cos\theta)\)

\(y=r\sin\theta=a\sin\theta(1+\cos\theta)\)

 

以下の計算で使用するので、書いておきます。

\(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=-a\sin\theta(1+2\cos\theta)\)

\(\displaystyle\frac{dy}{d\theta}=a(2\cos^2\theta+\cos\theta-1)\)

 

 

カージオイドの記事はこちら(長くなったので分割しました)

カージオイドの曲線の長さと面積です。それぞれの計算に対して、媒介変数表示の状態で計算する方法と極座標表示のまま計算する方法の2通りがあります。

 

\(x\)軸まわり

 

\(0\leq\theta\leq\displaystyle\frac{2\pi}{3}\)の部分の曲線が作る体積から、\(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\leq \theta\leq \pi\)までの部分の曲線が作る体積を引くと考える。

※\(x\)軸との交点は、\(y=a\sin\theta(1+\cos\theta)=0\)から出せる。

※\(x\)座標が最小となる点は、\(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=-a\sin\theta(1+2\cos\theta)=0\)から求められる。

 

すると体積は

\(V=\displaystyle\int_{-\frac{a}{4}}^{2a} \pi y^2 dx-\displaystyle\int_{-\frac{a}{4}}^{0} \pi y^2 dx\)

※\(x\)について積分しているので、積分範囲は\(\theta\)ではなく\(x\)に変換している。(\(\theta\)を媒介変数の\(x\)の式に代入すれば出てきます。)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{2a} \pi y^2 dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{\pi}^{0} \pi a^2(1+\cos\theta)^2\sin^2\theta\times-\sin\theta(1+2\cos\theta)d\theta\)

※\(y\)や\(dx\)を代入した。

 

\(=\pi a^3\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin^3\theta(1+2\cos\theta)(1+\cos\theta)^2 d\theta\)

 

ここで\(t=\cos\theta\)とすると

\(=\pi a^3\displaystyle\int_{1}^{-1} -(1-t^2)(1+2t)(1+t)^2 dt\)

 

\(=\pi a^3\displaystyle\int_{-1}^{1} (-2t^5-5t^4-2t^3+4t^2+4t+1)dt\)

 

\(=2\pi a^3\biggl[-t^5+\displaystyle\frac{4}{3}t^3+t\biggr]_{0}^{1}\) 

偶関数と奇関数の性質を利用しましたが、分かりにくければ、そのままやっても大丈夫です。

 

\(=\displaystyle\frac{8}{3}\pi a^3\)

 

 

\(y\)軸まわり

 

上半分を二倍すると考える。\(x<0\)の部分は折り返すと重なるので考えなくてよい。

\(0\leq\theta\leq\displaystyle\frac{\pi}{3}\)の部分の曲線が作る体積から、\(\displaystyle\frac{\pi}{3}\leq\theta\leq \displaystyle\frac{\pi}{2}\)までの部分の曲線が作る体積を引くと考える。

※\(y\)軸との交点は、\(x=a\cos\theta(1+\cos\theta)=0\)から出せる。

※\(y\)座標が最大となる点は、\(\displaystyle\frac{dy}{d\theta}=-a(2\cos^2\theta+\cos\theta-1)=0\)から求められる。

 

すると体積は

\(V=2\displaystyle\int_{0}^{\frac{3\sqrt{3}}{4}a} x^2 dy-2\displaystyle\int_{a}^{\frac{3\sqrt{3}}{4}a} x^2 dy\)

※\(y\)について積分しているので、積分範囲は\(\theta\)ではなく\(y\)に変換している。(\(\theta\)を媒介変数の\(y\)の式に代入すれば出てきます。)

 

\(=2\displaystyle\int_{0}^{a} x^2 dy\)

 

\(=2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a^2(1+\cos^2\theta)^2\cos^2\theta\times a(2\cos^2\theta+\cos\theta-1)d\theta\)

※\(x\)や\(dy\)を代入した。

 

\(=2a^3\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2\cos^6\theta+5\cos^5\theta+3\cos^4\theta-\cos^3\theta-\cos^2\theta)d\theta\)

 

\(=2a^3\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2\cos^6\theta+3\cos^4\theta-\cos^2\theta)d\theta+2a^3\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (5\cos^5\theta-\cos^3\theta)d\theta\)

 

ここで https://kikyousan.com/mathbottop/integralbot/integralbot40 の結果を利用する。

対称なので、\(\sin\theta\)でも\(\cos\theta\)でも同じ結果になります。

 

\(=2a^3\biggl(2\cdot \displaystyle\frac{5\cdot 3\cdot 1}{6\cdot 4\cdot 2}+3\cdot\displaystyle\frac{3\cdot 1}{4\cdot 2}-\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)\displaystyle\frac{\pi}{2}+2a^3\biggl(5\cdot \displaystyle\frac{4\cdot 2}{5\cdot 3\cdot 1}-\displaystyle\frac{2}{3\cdot 1}\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{5}{4}\pi a^3+4a^3\)

 

結果

\(x\)軸まわりが\(\displaystyle\frac{8}{3}\pi a^3\)

\(y\)軸まわりが\(\displaystyle\frac{5}{4}\pi a^3+4a^3\)

 

 

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