三次関数 対称性

三次関数微分積分
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三次関数

一般に、三次関数は変曲点($y^{\prime\prime}=0$)となる点について対称になります。

 

証明

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$の変曲点は、$f^{\prime\prime}(x)=6ax+2b=0$より$x=-\displaystyle\frac{b}{3a}=p$

 

変曲点を原点に移すような平行移動を考える。$(-p,-f(p))$だけ移動する。

 

$y+f(p)=a(x+p)^3+b(x+p)^2+c(x+p)+d$ より

 

$g(x)=ax^3+\left(c-\displaystyle\frac{b^2}{3a}\right)x$ という関数になる。

 

ここで、$g(-x)=-g(x)$となるので、$g(x)$は原点に関して点対称。

 

よってもとの$f(x)$は変曲点に関して点対称。

 

 

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