目次
\(2\)の倍数判定
一の位が \(2,4,6,8,0\)（偶数）→\(2\)の倍数
一の位が \(1,3,5,7,9\)（奇数）→\(2\)の倍数ではない
\(3\)の倍数判定
各桁の総和が\(3\)の倍数なら\(3\)の倍数。そうでなければ\(3\)の倍数ではない。
証明
4桁の場合を考える。
$1000a+100b+10c+d=3(333a+33b+3c)+a+b+c+d$
より、$a+b+c+d$が3の倍数であれば元の数も3の倍数。一般も場合も同様。
例
\(34567\)は\(3\)の倍数か？
\(3+4+5+6+7=25\) となり、\(25\)は\(3\)の倍数ではないので\(34567\)は\(3\)の倍数ではない。
\(4\)の倍数判定
下二桁の数が\(4\)の倍数なら\(4\)の倍数。そうでなければ\(4\)の倍数ではない。
証明
全ての数は$100a+10b+c$と表せる。
$100a+10b+c=4\times 25a+(10b+c)$
となるので、下二桁が4の倍数であれば元の数の4の倍数。
例
\(23456\)は\(4\)の倍数か？
下二桁の\(56\)は\(4\)の倍数なので\(23456\)は\(4\)の倍数となる。
\(5\)の倍数判定
一の位が\(0,5\) →\(5\)の倍数。
一の位がそれ以外→\(5\)の倍数ではない。
\(6\)の倍数判定
\(2\)の倍数かつ\(3\)の倍数であれば\(6\)の倍数。
\(7\)の倍数判定
その1
下から3桁ずつ区切り交互に足し引きを行いその結果が\(7\)の倍数なら\(7\)の倍数。
証明
まずは9桁までを考えてみる。3桁ごとに区切っているのですべての数は$1000000A + 1000B + C$ とおける。
\(1000000A+1000B+C=(1001-1)(1001-1)A+(1001-1)B+C\)
\(= 1001 \times 1001A – 2 \times 1001A +1001B + A – B + C\)
\(=1001(999A+B)+A-B+C\)
\(1001=7 \times 13 \times 11\)なので、\(A-B+C \)が7の倍数であれば元の数も7の倍数。計算と証明ともに桁が増えても同様にできる。
例
\(865583523\)は\(7\)の倍数か？
\(865583523\) → \(865\) / \(583\) / \(523\) → \( | 865-583+523|=805\)
\(805\)は\(7\)の倍数なので\(865583523\)は\(7\)の倍数。
その2
調べたい数の1の位を抜き、そこから1の位の2倍を引く。
これを繰り返し、結果が\(7\)の倍数なら元の数も\(7\)の倍数。
証明
すべての数は$10a + b$と書ける。仮定より、\(a-2b\) が7の倍数なので
\(a-2b=7k\) とおける。
\(10a+b = 10(2b+7k)+b = 21b+7k = 7(3b+k) \)
よって元の数も7の倍数となる。
例
\(34567\)は\(7\)の倍数か？
\( 3456- 7\times 2 = 3442\)
\(344 – 2\times 2 =340\)
\(34 – 0\times 2 =34\)
\(34\)は\(7\)の倍数ではないので\(7\)の倍数ではない。
\(8\)の倍数判定
下3桁が$8$の倍数ならば$8$の倍数。
証明
全ての数は$1000a+100b+10c+d$と表せる。
$1000a+100b+10c+d=8\times 125+(100b+10c+d)$
と変形できるので、下3桁が8の倍数ならば8の倍数。
例
\(48168\)は$8$の倍数か？
下3桁の\(168\)が\(8\)の倍数なので\(8\)の倍数。
\(9\)の倍数判定
各桁の総和が\(9\)の倍数なら\(9\)の倍数。そうでなければ\(9\)の倍数ではない。
証明
4桁の場合を考える。
$1000a+100b+10c+d=9(111a+11b+c)+a+b+c+d$
より、$a+b+c+d$が9の倍数であれば元の数も9の倍数。一般も場合も同様。
例
\(123456789\)は\(9\)の倍数か？
\(1+2+3+4+5+6+7+8+9=45= 5 \times 9\) なので\(9\)の倍数。
\(10\)の倍数判定
1の位が\(0\)
\(11\)の倍数判定
交互に足し引きしてその結果が\(11\)の倍数であれば\(11\)の倍数。
証明
5桁の場合を考えてみると
$10000a+1000b+100c+10d+e=11(909a+91b+9c+d)+(a-b+c-d+e)$
よって、$a-b+c-d+e$が11の倍数であれば元の数も11の倍数。桁数が増えても同様に計算、証明できる。
例
\(12435687\)は\(11\)の倍数か？
\(1-2+4-3+5-6+8-7=0\)なので\(11\)の倍数
\(12\)の倍数判定
\(3\)の倍数かつ\(4\)の倍数
\(13\)の倍数判定
下から3桁ずつ区切り交互に足し引きを行いその結果が\(13\)の倍数なら\(13\)の倍数。
証明
まずは9桁までを考えてみる。3桁ごとに区切っているのですべての数は$1000000A + 1000B + C$ とおける。
\(1000000A+1000B+C=(1001-1)(1001-1)A+(1001-1)B+C\)
\(= 1001 \times 1001A – 2 \times 1001A +1001B + A – B + C\)
\(=1001(999A+B)+A-B+C\)
\(1001=7 \times 13 \times 11\)なので、\(A-B+C \)が13の倍数であれば元の数も13の倍数。計算と証明ともに桁が増えても同様にできる。
例
\(1604928\)は\(13\)の倍数か？
\(1604928\) → \(1\) / \(604\) / \(928\) → \(|1-604+928|=325\)
\(325\)は\(13\)の倍数なので\(1604928\)は\(13\)の倍数。
\(14\)の倍数判定
\(2\)の倍数かつ\(7\)の倍数
\(15\)の倍数判定
\(3\)の倍数かつ\(5\)の倍数
