フーリエ級数展開(周期2π)

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フーリエ級数展開するとは、関数を三角関数の和で表すこと。

今回は周期\(2\pi\)の周期関数\(f(x)\)を三角関数の和として表す。

 

 

フーリエ級数展開

次のような関数\(f(x)\)の展開のことをフーリエ級数展開という。

\(f(x)=\displaystyle\frac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)\)

 

以下、それぞれの係数を求める。

 

\(a_{0}\)

級数展開の式を\([-\pi , \pi]\)でそのまま積分。

 

\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\displaystyle\frac{a_{0}}{2} dx+\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)dx\)

 

\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx=\pi a_{0}\)より

 

\(a_{0}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx\)

 

\(a_{n}\)

級数展開の式に\(\cos mx\)をかけて\([-\pi , \pi]\)で積分。

 

\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos mx dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\displaystyle\frac{a_{0}}{2}\cos mx dx+\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos nx\cos mx+b_{n}\sin nx\cos mx)dx\)

 

ここで、\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx\cos nx dx=\pi\delta_{mn}\)  \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\sin nx dx=0\) より

 

上の式は、\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos mx dx=\pi a_{m}\) と変形できる。

 

よって \(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx\)

 

\(b_{n}\)

級数展開の式に\(\sin mx\)をかけて\([-\pi , \pi]\)で積分。

 

\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin mx dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\displaystyle\frac{a_{0}}{2}\sin mx dx+\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos nx\sin mx+b_{n}\sin nx\sin mx)dx\)

 

ここで、\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx\sin nx dx=\pi\delta_{mn}\) と \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\sin nx dx=0\) より

 

上の式は、\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin mx dx=\pi b_{m}\) と変形できる。

 

よって \(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx\)

 

\(f(x)=x^2\)で考えます。(\(-\pi\leq x\leq \pi\)を拡張)

 

まず、それぞれの係数を計算する。

\(a_{0}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx\)\(=\displaystyle\frac{1}{\pi}\biggl[\displaystyle\frac{1}{3}x^3\biggr]_{-\pi}^{\pi}\)\(=\displaystyle\frac{2}{3}\pi^2\)

 

\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx\)\(=\displaystyle\frac{2}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi} x^2\cos nx dx\) ※偶関数

 

\(=\displaystyle\frac{2}{\pi}\biggl[\displaystyle\frac{x^2\sin nx}{n}\biggr]-\displaystyle\frac{2}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{2x\sin nx}{n}dx\)

 

\(=-\displaystyle\frac{4}{n\pi}\biggl[-\displaystyle\frac{x\cos nx}{n}\biggr]_{0}^{\pi}+\displaystyle\frac{4}{n\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi} -\displaystyle\frac{\cos nx}{n}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{4}{n^2\pi}\cdot\pi\cos n\pi-\displaystyle\frac{4}{n^3\pi}\biggl[\sin nx\biggr]_{0}^{\pi}\)

 

\(=\displaystyle\frac{4}{n^2}(-1)^n\)

 

また偶関数なので \(b_{n}=0\)

 

よって \(x^2=\displaystyle\frac{\pi^2}{3}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{4}{n^2}(-1)^n \cos nx\)

 

関数を三角関数和として表せた。

 

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