フーリエ変換

フーリエ解析
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フーリエ変換

 

 

フーリエ変換

\(F(x)\)を\(f(k)\)のフーリエ変換という。

\(F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(k) e^{-ikx}dk\)

 

フーリエ逆変換

\(f(k)\)を\(F(x)\)のフーリエ逆変換という。

\(f(k)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} F(x) e^{ikx}dx\)

 

デルタ関数のフーリエ変換

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)e^{-ikx}dx=e^{0}=1\)

 

デルタ関数のフーリエ積分表示

\(\delta(x)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx}dk\)

のように書ける。(デルタ関数のフーリエ積分表示)これを変形すると

 

\(2\pi \delta(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx}dk\)

と書くと、\(1\)のフーリエ変換が\(2\pi\delta(x)\)とも言える。

 

証明

フーリエ変換にフーリエ逆変換を代入する。

\(f(x)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \biggl(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(y)e^{-iky} dy\biggr)e^{ikx}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(y) \biggl(\displaystyle\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{ik(x-y)}dx\biggr)dy\)

 

次のデルタ関数の定義式

\(f(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(y)\delta(x-y)dy\)

と比較して、\(y=0\)とすると

 

\(\delta(x)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}dx=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx}dx\)

※デルタ関数は偶関数。

 

計算例

\(e^{inx}\)のフーリエ変換

\(F(k)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ikx}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{inx} e^{-ikx} dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i(k-n)x} dx\)

 

\(=2\pi\delta(k-n)\)     (デルタ関数のフーリエ変換を使った)

 

 

\(\cos nx\)のフーリエ変換

\(\cos nx=\displaystyle\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}\)より

 

\(F(k)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ikx}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}  \biggl(\displaystyle\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}\biggr)e^{-ikx} dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i(k-n)x}+e^{-i(k+n)x}dx\)

 

\(=\pi(\delta(k-n)+\delta(k+n))\)      (デルタ関数のフーリエ変換を使った)

 

 

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