フーリエ変換

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フーリエ変換

 

 

フーリエ変換

\(F(x)\)を\(f(k)\)のフーリエ変換という。

\(F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(k) e^{-ikx}dk\)

 

フーリエ逆変換

\(f(k)\)を\(F(x)\)のフーリエ逆変換という。

\(f(k)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} F(x) e^{ikx}dx\)

 

デルタ関数のフーリエ変換

\(\delta(x)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx}dk\)

 

 

計算例

\(e^{inx}\)のフーリエ変換

\(F(k)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ikx}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{inx} e^{-ikx} dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i(k-n)x} dx\)

 

\(=2\pi\delta(k-n)\)     (デルタ関数のフーリエ変換を使った)

 

 

\(\cos nx\)のフーリエ変換

\(\cos nx=\displaystyle\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}\)より

 

\(F(k)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ikx}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}  \biggl(\displaystyle\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}\biggr)e^{-ikx} dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i(k-n)x}+e^{-i(k+n)x}dx\)

 

\(=\pi(\delta(k-n)+\delta(k+n))\)      (デルタ関数のフーリエ変換を使った)

 

 

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