[mathjax]
目次
\(\Delta\displaystyle\frac{1}{r}\)
等式
\(\Delta\displaystyle\frac{1}{r}=-4\pi\delta(\boldsymbol{r})\)
証明
フーリエ変換等を使用する
\(\Delta f(\boldsymbol{r})\)のフーリエ変換
\(f(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int F(\boldsymbol{k}) e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} d^3\boldsymbol{k}\) \(\cdots\) ① より
\(\Delta f(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int (i\boldsymbol|k|)^2 F(\boldsymbol{k}) e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} d^3\boldsymbol{k}\) \(\cdots\) ②
②を書き換えると（逆変換）
\(\displaystyle\int \Delta f(\boldsymbol{r}) e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} d^3 \boldsymbol{r}=(i\boldsymbol|k|)^2 F(\boldsymbol{k})=-|k|^2 F(\boldsymbol{k})\) \(\cdots\) ③
※これは求めようとしていた、\(\Delta f(\boldsymbol{r})\)のフーリエ変換
デルタ関数のフーリエ変換を考える。
\(\displaystyle\int -\delta(\boldsymbol{r}) e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} d^3 \boldsymbol{r}=-e^0=-1\) \(\cdots\) ④
③④から、\(\Delta f(\boldsymbol{r})=-\delta(\boldsymbol{r})\) \(\cdots\) ⑤
となる\( f(\boldsymbol{r})\)を考えると、\(F(\boldsymbol{k})=\displaystyle\frac{1}{|\boldsymbol{k}|^2}\) この式を①に代入する。
\(f(\boldsymbol{r})\)
\(f(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int F(\boldsymbol{k}) e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} d^3 \boldsymbol{k}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\boldsymbol|k|^2} e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} d^3 \boldsymbol{k}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^3}\displaystyle\int_{0}^{\infty}dk \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta\displaystyle\int_{0}^{2\pi} d\phi e^{ikr\cos\theta}\) （極座標表示）
\(=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}dk \displaystyle\int_{1}^{-1} -dt e^{ikrt}\) （\(t=\cos\theta\) とした。）
\(=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}dk \displaystyle\int_{-1}^{1}e^{ikrt} dt\)
\(=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}dk \displaystyle\frac{e^{ikrt}-e^{-ikrt}}{ikr}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{(2\pi)^2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}dk \displaystyle\frac{2i\sin kr}{ikr}\) （オイラー公式）
\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi^2 r}\displaystyle\int_{0}^{\infty}dy \displaystyle\frac{\sin y}{y} \) （\(y=kr\)とした）
\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi^2 r}\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2}\) （ディリクレ積分）
\(=\displaystyle\frac{1}{4\pi r}\)
最終結果
⑤より\(\Delta f(\boldsymbol{r})=-\delta(\boldsymbol{r})\)
\(f(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi r}\) なので
$$\Delta\displaystyle\frac{1}{r}=-4\pi\delta(\boldsymbol{r})$$
