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目次
フーリエ変換
フーリエ変換
\(F(x)\)を\(f(k)\)のフーリエ変換という。
\(F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(k) e^{-ikx}dk\)
フーリエ逆変換
\(f(k)\)を\(F(x)\)のフーリエ逆変換という。
\(f(k)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} F(x) e^{ikx}dx\)
デルタ関数のフーリエ変換
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)e^{-ikx}dx=e^{0}=1\)
デルタ関数のフーリエ積分表示
\(\delta(x)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx}dk\)
のように書ける。（デルタ関数のフーリエ積分表示）これを変形すると
\(2\pi \delta(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx}dk\)
と書くと、\(1\)のフーリエ変換が\(2\pi\delta(x)\)とも言える。
証明
フーリエ変換にフーリエ逆変換を代入する。
\(f(x)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \biggl(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(y)e^{-iky} dy\biggr)e^{ikx}dx\)
\(=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(y) \biggl(\displaystyle\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{ik(x-y)}dx\biggr)dy\)
次のデルタ関数の定義式
\(f(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(y)\delta(x-y)dy\)
と比較して、\(y=0\)とすると
\(\delta(x)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}dx=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx}dx\)
※デルタ関数は偶関数。
計算例
\(e^{inx}\)のフーリエ変換
\(F(k)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ikx}dx\)
\(=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{inx} e^{-ikx} dx\)
\(=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i(k-n)x} dx\)
\(=2\pi\delta(k-n)\) （デルタ関数のフーリエ変換を使った）
\(\cos nx\)のフーリエ変換
\(\cos nx=\displaystyle\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}\)より
\(F(k)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ikx}dx\)
\(=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \biggl(\displaystyle\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}\biggr)e^{-ikx} dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i(k-n)x}+e^{-i(k+n)x}dx\)
\(=\pi(\delta(k-n)+\delta(k+n))\) （デルタ関数のフーリエ変換を使った）
