ベクトル解析公式

ベクトル解析
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ベクトル解析公式

公式

※\(\phi\)と\(\psi\) はスカラー関数、\(\boldsymbol{A}\)と\(\boldsymbol{B}\)はベクトル。

 

① \(\mathrm{div}  \mathrm{rot} \boldsymbol{A}=0\)

 

② \(\mathrm{rot} \mathrm{grad}\phi=\boldsymbol{0}\)

 

③ \(\mathrm{rot}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A})-\nabla^2 \boldsymbol{A}\)

 

④ \(\mathrm{grad}(\phi\psi)=\phi\nabla\psi+\psi\nabla\phi\)

 

⑤ \(\mathrm{div}(\phi\boldsymbol{A})=\nabla\phi\cdot\boldsymbol{A}+\phi\mathrm{div}\boldsymbol{A}\)

 

⑥ \(\mathrm{rot}(\phi\boldsymbol{A})=\nabla\phi\times\boldsymbol{A}+\phi\mathrm{rot}\boldsymbol{A}\)

 

⑦ \(\mathrm{div}(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})=\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{rot}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{rot}\boldsymbol{B}\)

 

⑧ \(\mathrm{rot}(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})=(\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A}-(\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}\mathrm{div}\boldsymbol{B}-\boldsymbol{B}\mathrm{div}\boldsymbol{A}\)

 

 証明

※以下、\(\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}=\partial_{y}\)のようにかいている。

 

1番

\(\mathrm{div} \mathrm{rot} \boldsymbol{A}=0\)

 

\(\mathrm{rot} \boldsymbol{A}=\)(\(\partial_{y}A_{z}-\partial_{z}A_{y}\) , \(\partial_{z}A_{x}-\partial_{x}A_{z}\) , \(\partial_{x}A_{y}-\partial_{y}A_{x}\)) であるので、

 

\(\mathrm{div} \mathrm{rot}\boldsymbol{A}\)

\(=\partial_{x}\)\((\partial_{y}A_{z}-\partial_{z}A_{y})\)\(+\partial_{y}\)\((\partial_{z}A_{x}-\partial_{x}A_{z})\)\(+\partial_{z}\)\((\partial_{x}A_{y}-\partial_{y}A_{x})\)

\(=\partial_{x}\partial_{y}A_{z}-\partial_{x}\partial_{z}A_{y}+\partial_{y}\partial_{z}A_{x}-\partial_{x}\partial_{y}A_{z}+\partial_{x}\partial_{z}A_{y}-\partial_{y}\partial_{z}A_{x}\)

\(=0\)

 

2番 

\(\mathrm{rot} \mathrm{grad}\phi=\boldsymbol{0}\)

 

これの\(x\)成分について考えると

\([\mathrm{rot} \mathrm{grad}\phi]_{x}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\cdot \displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}-\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\cdot \displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial^2\phi}{\partial y\partial z}-\displaystyle\frac{\partial^2 \phi}{\partial y\partial z}=0\)

他の成分についても同様なので

\(\mathrm{rot} \mathrm{grad}\phi=\boldsymbol{0}\)  が成立する。

 

3番 

\(\mathrm{rot}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A})-\nabla^2 \boldsymbol{A}\)

 

この証明で「レビチビタ記号」を使います。※使わなくても証明できますが、大変です。

レビチビタ記号
レビチビタ記号  レビチビタ記号レビチビタ記号は以下のように定義されます。便利なので導入されました。 \(\epsilon_{ijk}\)  ※\(i , j , k =1 , 2 , 3\) ① \(\epsilon_{123}=1\)②

 

2回使っているので少し添え字記号ややこしいですが以下証明です笑

\([\mathrm{rot}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}]_{k}=[\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{A})]_{k}\)

 

\(=\epsilon_{ijk}\partial_{i}(\nabla\times\boldsymbol{A})_{j}=\epsilon_{ijk}\partial_{i}\epsilon_{lmj}\partial_{l}\boldsymbol{A}_{m}\)

 

\(=\epsilon_{kij}\epsilon_{lmj}\partial_{i}\partial_{l}\boldsymbol{A}_{m}\)

 

\(=(\delta_{kl}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il})\partial_{i}\partial_{l}\boldsymbol{A}_{m}\)

 

ここで、レビチビタ記号に関する等式、\(\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}\)を使用した。

 

\((\delta_{kl}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il})\)

第一項が生き残るのは \(k=l\) かつ \(i=m\) のときで、この時 \(1\cdot \partial_{i}\partial_{k}\boldsymbol{A}_{i}\)

 

第二項が生き残るのは \(k=m\) かつ \(i=l\) のときで、この時 \(-1\cdot \partial_{i}\partial_{i}\boldsymbol{A}_{k}\)

 

よってまとめると

\((\delta_{kl}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il})\partial_{i}\partial_{l}\boldsymbol{A}_{m}=\partial_{i}\partial_{k}\boldsymbol{A}_{i}-\partial_{i}\partial_{i}\boldsymbol{A}_{k}\)

 

\(=[\nabla(\nabla\cdot \boldsymbol{A})-\nabla^2 \boldsymbol{A}]_{k}\)

 

4番

\(\mathrm{grad}(\phi\psi)=\phi\nabla\psi+\psi\nabla\phi\)

 

\(\biggl[\nabla(\phi\psi)\biggr]_{x}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}(\phi\psi)=\phi\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x}+\psi\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x}\)

 

同様に

\(\biggl[\nabla(\phi\psi)\biggr]_{y}=\phi\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial y}+\psi\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y}\)

\(\biggl[\nabla(\phi\psi)\biggr]_{z}=\phi\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial z}+\psi\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}\)

 

これら3つの式より、\(\mathrm{grad}(\phi\psi)=\phi\nabla\psi+\psi\nabla\phi\) が示される。

 

5番

\(\mathrm{div}(\phi\boldsymbol{A})=\nabla\phi\cdot\boldsymbol{A}+\phi\mathrm{div}\boldsymbol{A}\)

 

\(\mathrm{div}( \phi\boldsymbol{A})=\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( \phi A_{x})+\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}( \phi A_{y})+\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}( \phi A_{z})\)  \(\cdots\)  定義による変形。

 

\(=\biggl(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x}(A_{x})+\phi\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial x}\biggr)+\biggl(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y}(A_{y})+\phi\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial y}\biggr)+\biggl(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}(A_{z})+\phi\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial z}\biggr)\)   \(\cdots\)   それぞれ計算。

 

\(=\biggl(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x}(A_{x})+\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y}(A_{y})+\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}(A_{z})\biggr)+\phi\biggl(\displaystyle\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial z}\biggr)\)    \(\cdots\)    順番を入れ替えた。

 

よって、答えは

\(=\nabla\phi\cdot \boldsymbol{A}+\phi\nabla\cdot\boldsymbol{A}\)

 

6番

\(\mathrm{rot}(\phi\boldsymbol{A})=\nabla\phi\times\boldsymbol{A}+\phi\mathrm{rot}\boldsymbol{A}\)

まず、x成分に関して示す。

 

\(\biggl[\mathrm{rot}(\phi\boldsymbol{A})\biggr]_{x}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}(\phi A_{z})-\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}(\phi A_{y})\)     \(\cdots\)   定義より。

\(=\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y}(A_{z})+\phi\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}(A_{y})-\phi\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial z}\)     \(\cdots\)     それぞれ計算。

 

\(=\biggl(\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial y}(A_{z})-\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial z}(A_{y})\biggr)+\biggl(\phi\displaystyle\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\phi\displaystyle\frac{\partial A_{y}}{\partial z}\biggr)\)     \(\cdots\)     順番を入れ替えた。

 

\(=\biggl[\nabla\phi\times \boldsymbol{A}+\phi\nabla\times\boldsymbol{A}\biggr]_{x}\)

 

 ほかの成分についても同様なので、\(\mathrm{rot}(\phi\boldsymbol{A})=\nabla\phi\times\boldsymbol{A}+\phi\mathrm{rot}\boldsymbol{A}\) が成立する。

 

7番

\(\mathrm{div}(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})=\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{rot}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{rot}\boldsymbol{B}\)

 

レビチビタ記号を使用して示す。

\(\mathrm{div}(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})=\partial_{k}(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})_{k}\)

 

\(=\partial_{k}(\epsilon_{ijk}{A}_{i}{B}_{j})\)

 

片方ずつ微分。

\(={B}_{j}\epsilon_{ijk}\partial_{k}{A}_{i}+{A}_{i}\epsilon_{ijk}\partial_{k}B_{j}\)

 

\(={B}_{j}\epsilon_{kij}\partial_{k}{A}_{i}-{A}_{i}\epsilon_{kji}\partial_{k}B_{j}\)

 

\(=B_{j}(\nabla\times\boldsymbol{A})_{j}-A_{i}(\nabla\times\boldsymbol{B})_{i}\)

 

\(=\boldsymbol{B}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A})-\boldsymbol{A}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{B})\)

 が成立。

 

8番

\(\mathrm{rot}(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})=(\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A}-(\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}\mathrm{div}\boldsymbol{B}-\boldsymbol{B}\mathrm{div}\boldsymbol{A}\)

 

\([\mathrm{rot}(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})]_{k}\)

 

\(=\epsilon_{ijk}\partial_{i}(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})_{j}=\epsilon_{ijk}\partial_{i}(\epsilon_{lmj}A_{l}B_{m})\)

 

\(=\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmj}\partial_{i}(A_{l}B_{m})=\delta_{kl}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il}(B_{m}\partial_{i}A_{l}+A_{l}\partial_{i}B_{m})\)

 

\(i=m\) かつ\(k=l\) のとき

\(B_{i}\partial_{i}A_{k}+A_{k}\partial_{i}B_{i}=[(\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}\mathrm{div}\boldsymbol{B}]_{k}\)

 

\(i=l\) かつ\(k=m\) のとき

\(B_{k}\partial_{i}A_{i}+A_{i}\partial_{i}B_{k}=[\boldsymbol{B}\mathrm{div}\boldsymbol{A}+(\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B}]_{k}\)

 

これらより最終的な答えは

\(\mathrm{rot}(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})=(\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A}-(\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}\mathrm{div}\boldsymbol{B}-\boldsymbol{B}\mathrm{div}\boldsymbol{A}\)

 

 

 

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