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目次
\(y=x^2\)の\(0\leq x\leq 1\)の長さ
公式
曲線の長さの公式
\(L=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{dx}{dt}\biggr)^2+\biggl(\displaystyle\frac{dy}{dt}\biggr)^2} dt=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{1+\biggl(\displaystyle\frac{dy}{dx}\biggr)^2} dx\)
計算
\(y=x^2\)の\(0\leq x\leq 1\)を下の式に代入します。
\(L=\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{1+(2x)^2} dx\)
ここで、根号を外すことを目標にして \(x=\displaystyle\frac{1}{2}\tan\theta\) と置換する。
\(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=\displaystyle\frac{1}{2\cos^2 \theta}\)なので
\(L=\displaystyle\int_{0}^{\alpha} \sqrt{1+\tan^2 \theta} \cdot \displaystyle\frac{d\theta}{2\cos^2 \theta}\)
※積分範囲が変わることに注意。\(\alpha\)は、\(\tan\alpha=2\)を満たすもの。
\(=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\displaystyle\frac{d\theta}{2\cos^3 \theta}\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\displaystyle\frac{\cos\theta}{2(1-\sin^2\theta)^2} d\theta\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\sin\alpha}\displaystyle\frac{dt}{2(1-t^2)^2}\) ※ \(t=\sin\theta\) とおいた。
\(=\displaystyle\frac{1}{8}\displaystyle\int_{0}^{\sin\alpha} \biggl(\displaystyle\frac{1}{1-t}+\displaystyle\frac{1}{1+t}+\displaystyle\frac{1}{(1-t)^2}+\displaystyle\frac{1}{(1+t)^2}\biggr)dt\)
※ここは変数置くなりして頑張って部分分数分解。ヘビサイドの目隠し法使ってもよい。
\(=\displaystyle\frac{1}{8} \biggl[\log\displaystyle\frac{1+t}{1-t}+\displaystyle\frac{1}{1-t}-\displaystyle\frac{1}{1+t}\biggr]_{0}^{\sin\alpha}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{8} \biggl[\log\displaystyle\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}+\displaystyle\frac{1}{1-\sin\alpha}-\displaystyle\frac{1}{1+\sin\alpha}\biggr]\)
ここで \(\tan\alpha=2\)であることから、それぞれ以下のように変形できる。
前半
\(\displaystyle\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}=\displaystyle\frac{(1+\sin\alpha)^2}{\cos^2 \alpha}\)
\(=\biggl(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \alpha+\tan\alpha}\biggr)^2=(\sqrt{1+\tan^2\alpha}+\tan\alpha)^2\)
\(=(2+\sqrt{5})^2\)
後半
\(\displaystyle\frac{1}{1-\sin\alpha}-\displaystyle\frac{1}{1+\sin\alpha}\)
\(=\displaystyle\frac{2\sin\alpha}{1-\sin^2\alpha}=2\tan\alpha\sqrt{1+\tan^2\alpha}\)
\(=4\sqrt{5}\)
まとめ
\(L=\displaystyle\frac{1}{8} \biggl[\log\displaystyle\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}+\displaystyle\frac{1}{1-\sin\alpha}-\displaystyle\frac{1}{1+\sin\alpha}\biggr]\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\log(2+\sqrt{5})+\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}\)
