電磁気学8 ゲージ変換

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電磁気学8 ゲージ変換

 

 

前に導いたマクスウェル方程式は、\(\boldsymbol{E}\)、\(\boldsymbol{B}\) が複雑に混ざり合っていて実際的には扱いにくいものとなっています。

なので、これを書き換え、扱いやすい形を目指します。

 

スカラーポテンシャル、ベクトルポテンシャル

マクスウェル方程式

\(① \mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{ρ(\boldsymbol{r},t)}{ε_{0}}\) 

\(② \mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=-\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}\) 

\(③ \mathrm{div} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=0\) 

\(④ \mathrm{rot} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=  \mu_{0} \boldsymbol{i}(\boldsymbol{r},t) + \displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}\)

 

ベクトルポテンシャル

③は、\(\boldsymbol{B}=\mathrm{rot}\boldsymbol{A}\)とおくと成立している。※ベクトル解析の性質

 \(\boldsymbol{A}\)のことをベクトルポテンシャルという。

 

スカラーポテンシャル

この式を②に代入して整理すると、\(\mathrm{rot}\biggl(\boldsymbol{E}+\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}\biggr)=0\) となることから

 

\(\boldsymbol{E}+\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}=-\mathrm{grad} \phi\)   と置ける。※ベクトル解析の公式から

 

\(\boldsymbol{E}=-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}-\mathrm{grad}\phi\) となる。

\(\phi\)のことをスカラーポテンシャルという。

 

まとめ

⑤ \(\boldsymbol{B}=\mathrm{rot}\boldsymbol{A}\)

⑥ \(\boldsymbol{E}=-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}-\mathrm{grad}\phi\)

 

よって、\(\boldsymbol{E}\)、\(\boldsymbol{B}\) を求める代わりに\(\boldsymbol{A}\)、\(\phi\)を求めればそこから電場と磁場が計算できる。  

 

\(\boldsymbol{A}\)、\(\phi\)

 

次に、\(\boldsymbol{A}\)、\(\phi\)の決定について考えていきます。

 

①に⑤の式を代入する

\(\mathrm{div}\biggl(-\mathrm{grad}\phi-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}\biggr)=\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\)

 

整理すると

⑦ \(-\Delta\phi-\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\mathrm{div}\boldsymbol{A}=\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\)

 

④に⑤と⑥の式を代入する

\(\mathrm{rot}(\mathrm{rot}\boldsymbol{A})=\mu_{0}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\biggl(-\mathrm{grad}\phi-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}\biggr)\)

 

\(\mathrm{rot}(\mathrm{rot}\boldsymbol{A})=\mathrm{grad}\mathrm{
div}\boldsymbol{A}-\Delta\boldsymbol{A}\)という公式を使い変形すると

 

⑧ \(\mathrm{grad}\biggl(\mathrm{div}\boldsymbol{A}+\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial t}\biggr)+\biggl(\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\Delta\biggr)\boldsymbol{A}=\mu_{0}\boldsymbol{i}\)

 

まとめ

\(\boldsymbol{A}\)、\(\phi\)を決める式は以下のようになります。

⑦ \(-\Delta\phi-\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\mathrm{div}\boldsymbol{A}=\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\)

⑧ \(\mathrm{grad}\biggl(\mathrm{div}\boldsymbol{A}+\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial t}\biggr)+\biggl(\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\Delta\biggr)\boldsymbol{A}=\mu_{0}\boldsymbol{i}\)

 

しかし、これでもまだ\(\boldsymbol{A}\)、\(\phi\)が複雑に絡んでいるので以下のようなことを考えていきます。

 

ゲージ変換

現在のマクスウェル方程式の変形状況。

 

⑤ \(\boldsymbol{B}=\mathrm{rot}\boldsymbol{A}\)

⑥ \(\boldsymbol{E}=-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}-\mathrm{grad}\phi\)

⑦ \(-\Delta\phi-\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\mathrm{div}\boldsymbol{A}=\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\)

⑧ \(\mathrm{grad}\biggl(\mathrm{div}\boldsymbol{A}+\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial t}\biggr)+\biggl(\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\Delta\biggr)\boldsymbol{A}=\mu_{0}\boldsymbol{i}\)

 

ここで、\(\boldsymbol{A}\)、\(\phi\)は

\(\boldsymbol{A}\Rightarrow\boldsymbol{A}+\mathrm{grad}u\)

\(\phi\Rightarrow \phi_{0}-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}\)

 

置き換えても上の4つの式の性質が同じなので置き換えることができる。

この変換のことをゲージ変換という。 

マクスウェル方程式はゲージ変換に対して不変」と言う。

 

ローレンツ条件

\(\boldsymbol{A_{L}}\)、\(\phi_{L}\)

⑦ \(-\Delta\phi-\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\mathrm{div}\boldsymbol{A}=\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\)

⑧ \(\mathrm{grad}\biggl(\mathrm{div}\boldsymbol{A}+\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial t}\biggr)+\biggl(\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\Delta\biggr)\boldsymbol{A}=\mu_{0}\boldsymbol{i}\)

 

\(\boldsymbol{A}\)、\(\phi\)を独立できれいな形にしていきます。

ゲージ変換より、\(\boldsymbol{A_{L}}\)、\(\phi_{L}\)を次の式のように書くことが出来る。

※\(\boldsymbol{A_{0}}\)、\(\phi_{0}\)はある一つの解。

 

\(\boldsymbol{A_{L}}=\boldsymbol{A_{0}}+\mathrm{grad}u\)

\(\phi_{L}=\phi_{0}-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}\)

 

ローレンツ条件

\(\boldsymbol{A_{L}}\)、\(\phi_{L}\)を定める条件として、まずは⑧式において\(\boldsymbol{A}\)、\(\phi\)が独立になるように、⑧の第一項の中身が0になるようなものを考える。

 

\(\mathrm{div}\boldsymbol{A_{L}}+\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial \phi_{L}}{\partial t}=0\)

これをローレンツ条件といい、この時、⑦と⑧の式は\(\boldsymbol{A_{L}}\)、\(\phi_{L}\)を用いて以下のようになる。

 

\(\biggl(\Delta-\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial t^2}\biggr)\boldsymbol{A_{L}}=-\mu_{o}\boldsymbol{i}\)

 

\(\biggl(\Delta-\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial t^2}\biggr)\phi_{L}=-\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\)

 

\(\boldsymbol{A}\)、\(\phi\)がそれぞれ独立でなおかつ対称的な式が得られた。

 

存在

ある一つの解、\(\boldsymbol{A_{0}}\)、\(\phi_{0}\)をゲージ変換

\(\boldsymbol{A_{L}}=\boldsymbol{A_{0}}+\mathrm{grad}u\)

\(\phi_{L}=\phi_{0}-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}\)

で\(\boldsymbol{A_{L}}\)、\(\phi_{L}\)にして、それがローレンツ条件を満たすような\(u\)は

\(\Delta u-\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=-\mathrm{div}\boldsymbol{A_{0}}-\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial \phi_{0}}{\partial t}\)

の微分方程式を満たすもの。

 

つまり、ローレンツ条件を満たすような\(\boldsymbol{A_{L}}\)、\(\phi_{L}\)をゲージ変換で作ることが出来ることが分かった。

 

マクスウェル方程式

以上より、以下の5式がマクスウェル方程式と同等の方程式となる。

 

Ⅰ、\(\boldsymbol{B}=\mathrm{rot}\boldsymbol{A}\)

Ⅱ、\(\boldsymbol{E}=-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}-\mathrm{grad}\phi\)

Ⅲ、\(\biggl(\Delta-\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial t^2}\biggr)\boldsymbol{A_{L}}=-\mu_{o}\boldsymbol{i}\)

Ⅳ、\(\biggl(\Delta-\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial t^2}\biggr)\phi_{L}=-\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\)

Ⅴ、\(\mathrm{div}\boldsymbol{A_{L}}+\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial \phi_{L}}{\partial t}=0\)

 

まず、Ⅲ、Ⅳ式から \(\boldsymbol{A_{L}}\)、\(\phi_{L}\)を決め、そのうちⅤ式を満たすものをⅠとⅡに代入して電場と磁場を求める。

 

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