[mathjax]
目次
- 1 Maxwell方程式
- 1.1 Maxwell方程式とは
- 1.2 \(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{r},t)}{\epsilon_{0}} \cdots\) ガウスの法則
- 1.3 \(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=-\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots\) 電磁誘導
- 1.4 \(\mathrm{div} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=0 \cdots\) 単磁荷が存在しない
- 1.5 \(\mathrm{rot} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)= \mu_{0} \boldsymbol{i}(\boldsymbol{r},t) + \epsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots\) アンペールの法則
Maxwell方程式
電磁気学の根幹をなす基本方程式です。
Maxwell方程式とは
以下の4つの式をまとめてMaxwell方程式といいます。（微分形）
\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{r},t)}{\varepsilon_{0}} \cdots\) ガウスの法則
\(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=-\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots\) 電磁誘導
\(\mathrm{div} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=0 \cdots\) 単磁荷が存在しない
\(\mathrm{rot} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)= \mu_{0} \boldsymbol{i}(\boldsymbol{r},t) + \varepsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots アンペールの法則\)
電束密度\(\boldsymbol{D}=\varepsilon_{0}\boldsymbol{E}\)、磁場強度\(\boldsymbol{H}=\displaystyle\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_{0}}\)を使うと以下のようにも書けます。
\(\nabla\cdot \boldsymbol{D}=\rho\)
\(\nabla\times\boldsymbol{E}=-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot\boldsymbol{B}=0\)
\(\nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\)
ちなみに意味は同じだが、式が違う積分形のMaxwell方程式もある。
\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}=Q\)
\(\displaystyle\int_{C} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{s}=-\displaystyle\frac{\partial }{\partial t}\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}\)
\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}=0\)
\(\displaystyle\int_{C} \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{s}=\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{i}\cdot d\boldsymbol{S}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \displaystyle\int\boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}\)
※\(\boldsymbol{E}\) は電場、\(\boldsymbol{B}\) は磁束密度（磁場に対応）。
電磁気学の根本になる大変重要な方程式です。
※\((\boldsymbol{r},t)\)はこれらに依存して値が決まるのを表しているだけです。
ひとつずつ式の意味を見てみましょう。（具体的な証明はしません。）
\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{r},t)}{\epsilon_{0}} \cdots\) ガウスの法則
\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\) についてですが\(\mathrm{div}\)は発散と呼ばれ、ベクトル場の流出を表します。
発散のイメージ
\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\) 全体で一つの値となっています。
\(\epsilon_{0}\)は定数で、\(\rho\) は、電荷密度。
右辺から考えると、「電荷が存在している」→「電場が発生している」ということを意味します。
「電荷が存在してるならばそこから電場が発生している」ということを表しています。
\(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=-\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots\) 電磁誘導
\(\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}=-{\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}\) と書き換えておく。
コイルを考えてみると、\(\displaystyle\frac{\partial\vec{B}(\vec{r},t)}{\partial t}\) すなわち「磁場の変化」が「回転（\(\mathrm{rot}\)）する電場（コイルに電流）」を生み出すということを言っています。
これはベクトルに関する等式であり、3成分ある。
※\(\mathrm{rot}\) とは回転を意味する。
\(\mathrm{div} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=0 \cdots\) 単磁荷が存在しない
上で説明したように \(\mathrm{div}\) とは発散を意味します。
つまり、この式は「磁場の発散」は起こらない。ということを言っています。
「磁場が一方的に発散するようなことはない」\(=\)「モノポール（単磁荷）が存在しない」ことをこの式は言っています。
\(\mathrm{rot} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)= \mu_{0} \boldsymbol{i}(\boldsymbol{r},t) + \epsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots\) アンペールの法則
\(\mu_{0}\) は透磁率で、\(\boldsymbol{i}\)は電流密度。
「右ねじの法則」とも呼ばれます。
右辺の第一項は「電流」を第二項は「電場の変化」を表します。
つまり、「電流」や「電場の変化」によって回転する磁場が発生するという主張です。これはベクトルに関する等式であり、3成分ある。
コメント