導体球 ラプラス方程式例題1

電磁気学
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問題

\(z\)方向一様電場 \(E_{0}\) の中に半径\(a\)の導体球を置く。このとき、静電ポテンシャル(電位)を求める。

※導体表面の静電ポテンシャルを\(\phi_{0}\)とする。

 

 

解答

球の中心を原点にとる。

\(\boldsymbol{r}\)と\(z\)軸となす角を\(\theta\)とする。

 

一様電場

一様電場による静電ポテンシャル(\(=\phi_{1}\))は

 

\(\phi_{1}=-E_{0}z=-E_{0}r\cos\theta\)

 

導体外の電場

一様電場によって導体球に電荷が誘導され、それが電場をつくる。

ラプラス方程式の解において無限遠で\(0\)となる境界条件で考えると

 

\(\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty} \displaystyle\frac{B_{l}}{r^{l+1}}P_{l}(\cos\theta)\)

 

極座標でのラプラス方程式
 ラプラス方程式\(\Delta\phi=0\) を極座標表示すると \(\displaystyle\frac{1}{r^2}\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\biggl(r^2\...

 

任意の点での静電ポテンシャル

結果的に上の二つの和が任意の点での静電ポテンシャルになる。

導体表面(\(r=a\))の静電ポテンシャルが\(\phi_{0}\)である境界条件を課すと

 

\(\phi_{0}=-E_{0}a\cos\theta+\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty} \displaystyle\frac{B_{l}}{a^{l+1}}P_{l}(\cos\theta)\)

これが\(\theta\)によらず成立する。

 

\(l=0\)の項

\(\phi_{0}=\displaystyle\frac{B_{0}}{a}\)  より  \(B_{0}=\phi_{0} a\)

 

\(l=1\)の項

\(0=-E_{0}a+\displaystyle\frac{B_{1}}{a^2}\) より \(B_{1}=E_{0} a^3\)

 

\(l\geq 2\)の項

\(B_{l}=0\)

 

まとめ

これらを元の式に代入すると答えは

\(\phi=-E_{0}r\cos\theta+\displaystyle\frac{\phi_{0}a}{r}+\displaystyle\frac{E_{0}a^3}{r^2}\cos\theta\)

 

答え

\(\phi=-E_{0}r\cos\theta+\displaystyle\frac{\phi_{0}a}{r}+\displaystyle\frac{E_{0}a^3}{r^2}\cos\theta\)

 

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