数学

式 普通に計算したら無限大であるはずの自然数の総和が解析接続すると発散しないという面白い等式です。 $$\zeta(-1)=1+2+3+\cdots+ =-\displaystyle\frac{1}{12}$$ \(\zeta(s)\)はゼ...

部分分数分解の係数を決める方法の1つです。例題を見てみるのが分かりやすいです。 例題1 \(\displaystyle\frac{1}{(1-x^2)^2}\)　を部分分数分解する。　 ※難問積分で出てくる部分分数分解。   解答1 \(\...

ガンマ関数　倍数公式 \(\Gamma(2z)=\displaystyle\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma(z+\displaystyle\frac{1}{2})\)   証明 変形 \(...

ガンマ関数の無限積表示 \(\displaystyle\int_{0}^{n} \biggl(1-\displaystyle\frac{t}{n}\biggr)^n t^{z-1} dt\)　を計算することで無限積表示を求める。 ガウス公式...

ベータ関数 \(B(p,q) = \displaystyle\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\)　の定義から具体的なベータ関数の式を証明（導出）する。   ベータ関数、ガンマ関数の性質等はこちら。...

1/30公式 \(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2 (x-\beta)^2dx=\displaystyle\frac{1}{30}(\beta-\alpha)^5\)　   証明...

1/12公式 \(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2 (x-\beta)dx=-\displaystyle\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4\)　   証明 ...

1/6公式 \(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)　   証明 \(\di...

三角関数の無限乗積展開 $$\sin z=z\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \biggl(1-\displaystyle\frac{z^2}{n^2\pi^2 }\biggr)$$ $$\cos z=\d...

部分分数展開 \(f(z)\)の極 \(a_{k}\) はすべて一位で留数を \(r_{k}\)とする。 $$f(z)=f(0)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r_{n}\biggl(\displayst...