数学

デルタ関数 説明 下の二つの性質を満たすものをデルタ関数という。   ①　\(\delta (x)=\begin{cases} 0 & \text{$(x\neq 0)$} \\ \infty & \text{$(x=0)$} \end{c...

ガンマ関数の相反公式 \(\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\displaystyle\frac{\pi}{\sin\pi z}\)   (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({...

留数 \(\alpha\)を\(f(z)\)の孤立特異点とする。 $$\displaystyle\int_{C}(z-\alpha)^k dz=\begin{cases} 0 & \text{$(k\neq -1)$} \\ 2\pi i ...

テイラー展開とローラン展開 テイラー展開は正則な点（近傍も正則）まわりの展開 ローラン展開は特異点（周りは正則だが、その点は非正則）まわりの展開 テイラー展開 $$f(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\...

複素積分 線積分 複素関数の線積分の定義 $$S=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(t_{k})\Delta z_{k}$$ \(\Delta\)を0にしたときの極限値を\(\displaystyle\int_{C...

バーゼル問題とは \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\)　という等式で、オイラーが解いた。 ※...

サイクロイドとは \(x=a(\theta-\sin\theta)\) \(y=a(1-\cos\theta)\) (\(0\leq\theta<2\pi\))   の媒介変数表示で表される曲線。   ちなみにサイクロイドは、円が転がる時に...

シュールの不等式 \(r>0\)、\(x\geq 0\)、\(y\geq 0\)、\(z\geq 0\)とするとき以下が成立する。 $$x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y)\geq 0$$　  ...

ネスビットの不等式とは ネスビット（Nesbitt）の不等式とは以下の不等式。シャピロの不等式の\(n=3\)の場合にあたる。   ネスビットの不等式 \(a>0\)、\(b>0\)、\(c>0\)のとき $$\displaystyle\f...

今回はボールウェイン積分の紹介です。   ボールウェイン積分とは   \(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin x}{x}\biggl(\prod_{k=1}^{n}\...