数学

フーリエ変換   フーリエ変換 \(F(x)\)を\(f(k)\)のフーリエ変換という。 \(F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(k) e^{-ikx}dk\)   フーリエ逆変換 \(f...

\(\Delta\displaystyle\frac{1}{r}\) 等式 \(\Delta\displaystyle\frac{1}{r}=-4\pi\delta(\boldsymbol{r})\)   (adsbygoogle = wi...

フーリエ級数に関連した等式を2つ紹介、証明します。   問題 以下を証明する。 1番 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\f...

パーセバルの等式   パーセバルの等式とは \(f(x)\)のフーリエ級数の係数に関して、以下がパーセバルの等式です。   \(\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}...

内容 定数係数二階非同次線形微分方程式は、次の形で表されます。 $y^{\prime \prime}+ay^{\prime}+by=Q(x)$ 答えは、(同次形の解)+(特殊解)で表されます。   同次解 答えは、同次形の解と特殊解の和で表...

フーリエ級数展開するとは、関数を三角関数の和で表すこと。 今回は周期\(2\pi\)の周期関数\(f(x)\)を三角関数の和として表す。     フーリエ級数展開 次のような関数\(f(x)\)の展開のことをフーリエ級数展開という。 \(f...

極座標 極座標での勾配、発散、ラプラシアンです。 結果 勾配 $$\mathrm{grad}f=\nabla f=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{e_{r}}+\d...

円柱座標の勾配、発散、ラプラシアン \(x=r\cos\theta\)、\(y=r\sin\theta\)、\(z=z\) \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)、\(\theta=\tan^{-1}\displaystyle\frac{...

瞬間部分積分(USA式) 高速で部分積分の計算を行う方法です。瞬間部分積分法、USA式とも呼ばれます。 部分積分 \(f(x)\)を微分する側、\(g(x)\)を積分する側とする。指数の正の数は積分回数。（正式な記号ではない。）   \(\...

\(e^\pi\)と\(\pi^e\)の大小 計算 \(e^\pi\)と\(\pi^e\)   両方の対数を取ると、\(\pi\log e\)と\(e\log \pi\)となる。   \(\pi e\)で割ると\(\displaystyle...