日々の日記

ガンマ関数の無限積表示 \(\displaystyle\int_{0}^{n} \biggl(1-\displaystyle\frac{t}{n}\biggr)^n t^{z-1} dt\)　を計算することで無限積表示を求める。 ガウス公式...

ベータ関数 \(B(p,q) = \displaystyle\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\)　の定義から具体的なベータ関数の式を証明（導出）する。   ベータ関数、ガンマ関数の性質等はこちら。...

1/30公式 \(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2 (x-\beta)^2dx=\displaystyle\frac{1}{30}(\beta-\alpha)^5\)　   証明...

1/12公式 \(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2 (x-\beta)dx=-\displaystyle\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4\)　   証明 ...

1/6公式 \(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)　   証明 \(\di...

三角関数の無限乗積展開 $$\sin z=z\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \biggl(1-\displaystyle\frac{z^2}{n^2\pi^2 }\biggr)$$ $$\cos z=\d...

部分分数展開 \(f(z)\)の極 \(a_{k}\) はすべて一位で留数を \(r_{k}\)とする。 $$f(z)=f(0)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} r_{n}\biggl(\displayst...

デルタ関数 説明 下の二つの性質を満たすものをデルタ関数という。   ①　\(\delta (x)=\begin{cases} 0 & \text{$(x\neq 0)$} \\ \infty & \text{$(x=0)$} \end{c...

ガンマ関数の相反公式 \(\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\displaystyle\frac{\pi}{\sin\pi z}\)   (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({...