数学

留数原理

留数 \(\alpha\)を\(f(z)\)の孤立特異点とする。 $$\displaystyle\int_{C}(z-\alpha)^k dz=\begin{cases} 0 & \text{$(k\neq -1)$} \\ 2\pi i ...
数学

テイラー展開、ローラン展開

テイラー展開とローラン展開 テイラー展開は正則な点(近傍も正則)まわりの展開 ローラン展開は特異点(周りは正則だが、その点は非正則)まわりの展開 テイラー展開 $$f(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\...
数学

複素積分

複素積分 線積分 複素関数の線積分の定義 $$S=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(t_{k})\Delta z_{k}$$ \(\Delta\)を0にしたときの極限値を\(\displaystyle\int_{C...
数学

バーゼル問題 

バーゼル問題とは \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) という等式で、オイラーが解いた。 ※...
物理

慣性テンソル 球

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 慣性テンソル 慣性テンソルは以下。   \(I=\left( \begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{...
物理

慣性テンソル 円盤 

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物理

慣性テンソル 直方体 

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 慣性テンソル \(I=\left( \begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i} m_{i} (y_{...
数学

サイクロイド曲線の長さと面積

サイクロイドとは \(x=a(\theta-\sin\theta)\) \(y=a(1-\cos\theta)\) (\(0\leq\theta<2\pi\))   の媒介変数表示で表される曲線。   ちなみにサイクロイドは、円が転がる時に...
数学

シュールの不等式

シュールの不等式 \(r>0\)、\(x\geq 0\)、\(y\geq 0\)、\(z\geq 0\)とするとき以下が成立する。 $$x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y)\geq 0$$   ...
数学

ネスビットの不等式

ネスビットの不等式とは ネスビット(Nesbitt)の不等式とは以下の不等式。シャピロの不等式の\(n=3\)の場合にあたる。   ネスビットの不等式 \(a>0\)、\(b>0\)、\(c>0\)のとき $$\displaystyle\f...
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