数学 n次元超球の体積と表面積
2次元の超球の体積（円の面積）は \(4\pi r^2\)。 3次元の超球の体積（球の体積）は \(\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\)。 これを一般化します。 表面積は体積を微分するだけなので、とりあえず体積...
数学 物理 ハッブル-ルメートルの法則
ル-ルメートルの法則とは \(v\)を後退速度、\(d\)を距離としたときに $$v=H_{0} d$$ と表される関係。※\(H_{0}\simeq70 (km/s/Mpc)\)はハッブル定数。 この法則が示すこと ・距離が遠い（遠くにあ...
物理 解析力学問題2
未定乗数法 問題 滑車にひもがかかっている。 左のひもの長さが\(x\)、右のひもの長さが\(y\)。 左のおもりが\(M\)、右のおもりが\(m\)。 ひもの長さは\(l=x+y\)。 初期条件は\(x_{0}=a\)、\(\dot ...
数学 フーリエ変換
フーリエ変換 フーリエ変換 \(F(x)\)を\(f(k)\)のフーリエ変換という。 \(F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(k) e^{-ikx}dk\) フーリエ逆変換 \(f...
数学 ∆(1/r)
\(\Delta\displaystyle\frac{1}{r}\) 等式 \(\Delta\displaystyle\frac{1}{r}=-4\pi\delta(\boldsymbol{r})\) (adsbygoogle = wi...
物理 解析力学問題1
Euler-Lagrange方程式 $$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial x_{i}}-\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\frac{\partial ...
数学 フーリエ級数に関連した等式
フーリエ級数に関連した等式を2つ紹介、証明します。 問題 以下を証明する。 1番 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\f...
数学 パーセバルの等式
パーセバルの等式 パーセバルの等式とは \(f(x)\)のフーリエ級数の係数に関して、以下がパーセバルの等式です。 \(\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}...
数学 二階線形非同次微分方程式
内容 定数係数二階非同次線形微分方程式は、次の形で表されます。 $y^{\prime \prime}+ay^{\prime}+by=Q(x)$ 答えは、(同次形の解)+(特殊解)で表されます。 同次解 答えは、同次形の解と特殊解の和で表...
数学 フーリエ級数展開
フーリエ級数展開するとは、関数を三角関数の和で表すこと。 今回は周期\(2\pi\)の周期関数\(f(x)\)を三角関数の和として表す。 フーリエ級数展開 次のような関数\(f(x)\)の展開のことをフーリエ級数展開という。 \(f...