線形代数 クラメルの公式
クラメルの公式 連立方程式の解の公式です。行列式の計算が入ってきて計算量が多いので実用的とは言い難い公式です。 （実用的には掃き出し法、逆行列をかけるなどして求める） $a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+ \cdots +...
線形代数 微分積分 $\varepsilon$-$\delta$論法
$\varepsilon$-$N$論法は数列の極限に関する定義 $\varepsilon$-$\delta$論法とは関数の極限に関する定義 $\varepsilon$-$N$論法 $\displaystyle\lim_{n\to\infty...
確率 PCR検査 条件付き確率
PCR検査 コロナが流行り、PCR検査というものも広まっていましたが、これに関する数学の問題を考えてみましょう 問題 コロナに人口の1%が罹患しているとする。 PCR検査の精度を実際にコロナに感染しているときに陽性と判定する確率(感度)を9...
物理 単原子古典理想気体
単原子古典理想気体 ・分配関数 $Z=\displaystyle\frac{1}{h^{3N} N!}\displaystyle\iint d\boldsymbol{p} d\boldsymbol{q} e^{-\beta\sum_{i...
電磁気学 円筒コンデンサ
円筒コンデンサ 小半径$a$、大半径$b$の円筒コンデンサがある。 静電容量 $a<r<b$で長さ$1$の円柱にガウスの発散定理を使うと $2\pi r E=\displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$...
電磁気学 物質中のMaxwell方程式
物質中のMaxwell方程式 分極電荷、分極電流、磁荷電流の影響により、Maxwell方程式のうち二式が変化する。 記号 真電荷は$\rho_{e}$、分極電荷は$\rho_{d}=-\mathrm{div}P$と書。 真電流は$j_{e}...
量子力学 スピン1/2の合成
スピン1/2の合成 状態を$|S,M\rangle $と書く。 スピン3重項 $|1,1\rangle = |\uparrow\uparrow\rangle $ $|1,0\rangle = \displaystyle\frac{1}{\s...
微分方程式 拡散方程式
拡散方程式 以下のような方程式を拡散方程式という。 $$D\displaystyle\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}=\displaystyle\frac{\partial u(x,t)}{\pa...
微分方程式 リカッチ型微分方程式
リカッチ型 微分方程式 $y^{\prime}+Py^2+Qy+R=0$の形の微分方程式をリカッチ型微分方程式と呼ぶ。 ある一つの特殊解$y_{1}$を用いて$y=u+y_{1}$とおくと$u$に関する微分方程式がベルヌーイ型の微分方程...
電磁気学 微積物理 電磁気学
微積物理 電磁気学 本来、物理は微分積分を使うものなのだが（物理と微分積分は切っても切り離せない）、高校では指導要領の関係で微積を使った物理を教わりません。 なので、今回は高校物理で出てくる公式を微積分を使って導出していく。 ※Maxwel...