微分方程式 微分方程式 ラプラス変換
例題 $y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+3y=e^{2t}$ ($y(0)=y^{\prime}(0)=0$) 解答 ※もちろん、通常の微分方程式の解き方でも解くことが出来ます。 一般にラプラス変換で以下の式が...
微分方程式 物理 熱力学関係式
熱力学関係式 内部エネルギー $dU=PdV-TdS$ （熱力学第一法則） ヘルムホルツ自由エネルギー $F=U-TS$より $dF=-PdV-SdT$ ギブスの自由エネルギー $G=F+PV$より $dG=-SdT+VdP$ エンタルピー...
量子力学 調和振動子 生成消滅演算子
調和振動子 調和振動子のハミルトニアンは次のように書ける。生成消滅演算子というものを用いて、この固有値を求める。 \(H=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+\displaystyle\frac{1}{2}m\omega...
数学 A判 B判
A判、B判 A判、B判ともに「縦：横＝1:\(\sqrt{2}\)」の長方形。この比率のことを白銀比という。 おまけ 白銀比(大和比)＝\(1:\sqrt{2}\) 黄金比＝\(1:\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}...
数学 ベッセルの微分方程式
ベッセルの微分方程式 定義 \(\displaystyle\frac{d^2 y}{dx^2}+\displaystyle\frac{1}{x}\displaystyle\frac{dy}{dx}+\left(1-\displaystyle...
数学 完全数
完全数 完全数とは 自身を除く約数の総和が自身に等しくなる数。 具体的な数でいうと小さい順に「\(6,28,496,8128,33550336\cdots\)」 \(6\)を例にとると、\(6\)の約数は「\(1,2,3,6\)」であるが、...
数学 エルミート多項式
エルミート多項式 定義 \(\left(\displaystyle\frac{d^2}{dx^2}-2x\displaystyle\frac{d}{dx}+2n\right)H_{n}(x)=0\) の解\(H_{n}(x)\)をエルミート...
数学 ルジャンドル多項式
ルジャンドル多項式 定義 \(\displaystyle\frac{d}{dx}\left+\lambda(\lambda+1)f(x)=0\) の解\(P_{n}(x)\)をルジャンドル多項式という。 一般形 \(P_{n}(x)=\di...
数学 ヒーローアカデミア 積分
ヒーローアカデミア 積分 ぼくのヒーローアカデミアというアニメに難問積分が出ていたということなので解いていきます。 問題 \(\displaystyle\int_{0}^{\log(1+\sqrt{2})} \left(\display...
数学 対称式 交代式 因数分解
対称式 交代式 定義 対称式とは、2つの文字を入れ替えた時に式が変わらないもの。 例、$(a+b)c^2+(b+c)a^2+(c+a)b^2$ 交代式とは、2つの文字を入れ替えた時に式が$(-1)$倍になるもの。 例、$(a-b)c^2+(...