数列

複利計算

複利計算   用語 元金 \(\cdots\) 最初に借り入れた金額 単利 \(\cdots\) 元金にだけ利息がかかる。(⇔複利) 複利 \(\cdots\) 生じた利子も元金に含めていく。(⇔複利)   計算 利子率(年利)\(r\...
電磁気学

電気双極子モーメント 電位と電場

電気双極子モーメント 電位と電場   設定 \(+q\)の電荷と\(-q\)の電荷が距離\(l\)だけ(無限小)離れてペアで存在している場合を考える。     点\(\biggl(\displaystyle\frac{l}{2},0\...
微分積分

斜軸回転の体積 傘型分割

斜軸回転の体積 回転体の体積で、斜めの軸まわりの場合を考えます。   問題 \(y=x^2\)と\(y=x\)で囲まれる部分を\(y=x\)軸まわりに回転させてできる立体の体積は?       解答 \(r=\displaystyl...
微分積分

ドーナツの体積

ドーナツの体積 ドーナツの形の体積を求めます。円を軸まわりにぐるっと回転させたと考えます。トーラスの一種。   設定 \(0\leq a\leq b\)とする。以下の図形を\(x\)軸まわりに回転させたものと考えて計算する。     ...
微分積分

回転楕円体の体積

回転楕円体の体積 回転楕円体とは楕円を中心軸周りに回してできる立体。   以下では、\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)を\(x\)軸、\(y\)...
微分積分

楕円の面積

楕円の面積 媒介変数表示を介して計算していきます。 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)の楕円では \(x=a\cos\theta\) \(y=...
微分積分

y=x^2 の0≦x≦1の長さ

\(y=x^2\)の\(0\leq x\leq 1\)の長さ 中学で学んでからお馴染みの放物線ですが、長さを求めることってなかったですよね? 数Ⅲの知識がいるのと少し面倒だからですが。 今回、その長さを計算していきます。   公式 曲線...
力学

スーパーボールの運動

  スーパーボール スーパーボールが地面で跳ね返った時の運動を調べる。   跳ねる前 速度\(v_{0}\)、角速度\(\omega_{0}\) 跳ねた後 速度\(v_{1}\)、角速度\(\omega_{1}\)     跳ねる時の...
三角関数

sec x、cosec x、cot x

  三角関数 高校数学ではこの3つの三角関数は登場しませんが、たまに見かけるわりには説明されることも少ないのでまとめます。 とは言っても三角関数を分かっていればすぐに理解できます。   三角形の比の値の定義は本来なら3通りではなく、...
微分積分

レムニスケート曲線の面積と長さ

レムニスケート レム二スケートは極方程式が\(r^2=2a^2\cos 2\theta\)で表される図形。連珠形とも呼ばれる。   以下の画像のような軌跡になる。     直交座標系に変換すると \((x^2+y^2)^2=2a^2(...
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