数学 ポアソン分布
ポアソン分布 確率 \(P(k)=\displaystyle\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\) 単位時間当たり平均\(\lambda\)回起こる事象が単位時間当たりちょうど\(k\)回起こる確率。 ...
数学 物理 シュワルツシルト解
シュワルツシルト解 一般相対論のアインシュタイン方程式の厳密解のひとつ。静的球対称な時空を考えて導く。 ※計量テンソルに取り方によって符号が真逆のこともある。 \(ds^2=-\biggl(1-\displaystyle\frac{2GM}...
物理 ローレンツ変換
ローレンツ変換 2つの慣性系を結ぶ線形変換。ミンコフスキー空間の距離を一定に保つ変換。 証明 特殊相対論の原理は、「相対性原理」と「光速度不変原理」だが、これらの条件はダランべルシアンが座標変換に対して不変であることと同じ。この座標変換...
物理 ローレンツ収縮
ローレンツ収縮 ローレンツ変換 ローレンツ変換は以下のような変換である。 \(\left(\begin{array}{c} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{array} \right) =\left(\begin{a...
物理 ディラック方程式
ディラック方程式 ディラック方程式は相対論的量子力学での方程式。 非相対論的なシュレディンガー方程式を相対論的にしたものがディラック方程式。 以下では、\(c=\hbar=1\)の自然単位系を使用する。 ディラック方程式 ディラック方程...
物理 最速降下線
サイクロイド 最速降下線 球を転がすときに、最もはやく転がる時の軌跡はサイクロイドになる。 計算 上のような状況を考える。（矢印は直線で書かれてますが、最終的な結果はサイクロイドです！） 原点から点Aまで最速で下りる経路...
物理 階段型ポテンシャル
階段型ポテンシャル 以下のようなポテンシャルのもとでシュレディンガー方程式を解く。 \(V(x)=\begin{cases} 0 & x<0 \\ \\V_{0} & x>0 \end{cases}\) \(E>V_{0}...
物理 コンプトン散乱
コンプトン散乱 コンプトン散乱とは 光子の粒子性を示す実験。散乱によって光の波長が伸びる。 計算 光子が電子にぶつかって散乱する状況を考える。光子を粒子とみなして計算する。 ・入射する光の振動数 \(\nu\) ・散乱後の光の振動数 \...
物理 デルタ関数型ポテンシャル
デルタ関数型ポテンシャル ポテンシャルが以下のようなものを考える。 \(V(x)=V_{0}\delta(x)\) ※ただし\(V_{0}>0\)とする。 解答 波動関数 シュレディンガー方程式は、\(V(x)=V_{0}\delta...
数学 クレロー型微分方程式
クレロー型微分方程式 \(y=xp+f(p)\)の形の微分方程式（ただし、\(p=y^{\prime}\)）。 解き方 両辺を微分することで解く。 \(y=xp+f(p)\)を\(x\)で微分して \(y^{\prime}=p=xp^{...