数学 楕円 双曲線 導出
楕円方程式の導出 楕円の定義は二点からの距離の和が等しい軌跡。 一般の場合を考え、\((\pm c,0)\)からの距離の和が\(2a\)であるとして導出する。 \(\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2...
数学 物理 不確定性原理
不確定性原理 位置\(x\)と運動量\(p\)に対して $$\Delta x \Delta p\geq \displaystyle\frac{\hbar}{2}$$ 量子力学では位置と運動量は確定しない。 証明 定義 \(I(\alpha)...
物理 トンネル効果
トンネル効果 古典的には存在が許されないポテンシャル障壁を超えた領域に、量子力学的には粒子が存在しうるという効果のことをトンネル効果という。粒子があたかもトンネルをすり抜けたかのように移動する。 計算 以下のような状況を考える。 \(V(x...
数学 期待値と分散と共分散
期待値 期待される値。それぞれの値とその時の確率の積の総和になる。 定義 \(E(X)\)で表す。確率変数\(X\)が\(a_{k}\)を取る確率がPであるとき \(E=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}...
数学 1/100の当たりくじ、100回以内に引く確率は？
問題 当たりの確率が\(\displaystyle\frac{1}{100}\)のくじがある。このくじを\(100\)回引く。\(100\)回以内に当たりを引く確率は？ 同様に\(100\)のかわりに\(n\)で考えるとどうなる？ 解答...
数学 複利計算
複利計算 用語 元金 \(\cdots\) 最初に借り入れた金額 単利 \(\cdots\) 元金にだけ利息がかかる。(⇔複利) 複利 \(\cdots\) 生じた利子も元金に含めていく。(⇔複利) 計算 利子率(年利)\(r\)、...
物理 電気双極子モーメント 電位と電場
電気双極子モーメント 電位と電場 設定 \(+q\)の電荷と\(-q\)の電荷が距離\(l\)だけ（無限小）離れてペアで存在している場合を考える。 点\(\biggl(\displaystyle\frac{l}{2},0\big...
数学 斜軸回転の体積 傘型分割
斜軸回転の体積 回転体の体積で、斜めの軸まわりの場合を考えます。 問題 \(y=x^2\)と\(y=x\)で囲まれる部分を\(y=x\)軸まわりに回転させてできる立体の体積は？ 解答 \(r=\displaystyle\frac{t...
数学 ドーナツの体積
ドーナツの体積 ドーナツの形の体積を求めます。円を軸まわりにぐるっと回転させたと考えます。トーラスの一種。 設定 \(0\leq a\leq b\)とする。以下の図形を\(x\)軸まわりに回転させたものと考えて計算する。 計算 ...
数学 回転楕円体の体積
回転楕円体の体積 回転楕円体とは楕円を中心軸周りに回してできる立体。 以下では、\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)を\(x\)軸、\(y\)軸そ...