積分問題 積分問題10番
統計学分散、共分散、相関係数の変換
分散、共分散、相関係数の変換 データを線形変換した際に分散、共分散、相関係数がどのように変わるかを見ていきます。 元のデータをX、Yとして以下のように変換する。 $Z=aX+b$$W=cY+d$ 分散 $\mathrm{Var...
式クラメルの公式
クラメルの公式 連立方程式の解の公式です。 $a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+ \cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} $ $a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+ \cdots +a_{2n...
数列ε-δ(イプシロン-デルタ)論法
はじめに $\varepsilon$-$\delta$論法とは関数の極限に関する定義。 $\varepsilon$-$N$論法は数列の極限に関する定義。 高校までの数学では、極限に関しては厳密な定義が与えられていなかったがここで極限に...
確率PCR検査 条件付き確率
PCR検査 コロナが流行り、PCR検査というものも広まっていましたが、これに関する数学の問題を考えてみましょう 問題 コロナに人口の1%が罹患しているとする。 PCR検査の精度を実際にコロナに感染しているときに陽性と判定する確率(感度...
統計力学単原子古典理想気体
単原子古典理想気体 ・分配関数 $Z=\displaystyle\frac{1}{h^{3N} N!}\displaystyle\iint d\boldsymbol{p} d\boldsymbol{q} e^{-\beta\sum...
電磁気学円筒コンデンサ
円筒コンデンサ 小半径$a$、大半径$b$の円筒コンデンサがある。 静電容量 $a<r<b$で長さ$1$の円柱にガウスの発散定理を使うと $2\pi r E=\displaystyle\frac{Q}{\varepsi...
電磁気学物質中のMaxwell方程式
物質中のMaxwell方程式 分極電荷、分極電流、磁荷電流の影響により、Maxwell方程式のうち二式が変化する。 記号 真電荷は$\rho_{e}$、分極電荷は$\rho_{d}=-\mathrm{div}P$と書。 真電...
量子力学スピン1/2の合成
スピン1/2の合成 状態を$|S,M\rangle $と書く。 スピン3重項 $|1,1\rangle = |\uparrow\uparrow\rangle $ $|1,0\rangle = \displaystyle\frac{1...
物理数学拡散方程式
拡散方程式 以下のような方程式を拡散方程式という。 $$D\displaystyle\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}=\displaystyle\frac{\partial u(x,t)}{...
微分方程式リカッチ型 微分方程式
リカッチ型 微分方程式 $y^{\prime}+Py^2+Qy+R=0$の形の微分方程式をリカッチ型微分方程式と呼ぶ。 ある一つの特殊解$y_{1}$を用いて$y=u+y_{1}$とおくと$u$に関する微分方程式がベルヌーイ型の微...